¿Y cómo integro?

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3.5 Integrales de algunas funciones racionales que contienen funciones trigonométricas e hiperbólicas

En esta sección se estudiaran cambios de variable adecuados para ciertos tipos de funciones dependientes de senos, cosenos y tangentes trigonométricas, siendo válidos estos mismos criterios para sus análogas funciones hiperbólicas.

Integración de funciones de la forma $\mathbf{f(\sin(x))\cos(x)}$ y $\mathbf{f(\cos(x))\sin(x)}$

Para este caso se hace evidente que los cambios de variable adecuados para hacer son $t=\sin(x)\Rightarrow \dd t=\cos(x)\dd x$ y $t=\cos(x)\Rightarrow \dd t=-\cos(x)\dd x$, quedando así las integrales de las funciones expresadas de la siguiente manera:

$$\boxed{\begin{aligned}<br /> \int f(\sin(x))\cos(x)\dd x&=\int f(t)\dd t\\<br /> \int f(\cos(x))\sin(x)\dd x&=-\int f(t)\dd t\\<br /> \end{aligned}}$$

Integración de funciones de la forma $\mathbf{f(\sin(t),\cos(t))}$, donde las potencias de los senos y cosenos son pares.

Para este caso es conveniente realizar el siguiente cambio de variable $t=\tan(x)\Rightarrow \dd x=\dfrac{\dd t}{1+t^2}$, y además tomando en cuenta las siguientes identidades trigonométricas:

$$\begin{aligned}<br /> \sin^2(x)=&\dfrac{\tan^2 x}{1+\tan ^2 x}=\dfrac{t^2}{1+t^2}\\<br /> \cos^2(x)=&\dfrac{1}{1+\tan ^2 x}=\dfrac{1}{1+t^2}<br /> \end{aligned}$$

se obtiene una integral de la forma

$$\boxed{\dst\int f(\sin(t),\cos(t))\dd x\int f(t)\frac{\dd t}{1+t^2}}$$

Integración de funciones de la forma $\mathbf{f(tan(x))}$

En este caso el cambio de variable es el mismo al caso anterior $t=\tan(x)\Rightarrow \dd x=\dfrac{\dd t}{1+t^2}$, con lo cual se lleva la integral a la siguiente forma:

$$\boxed{\int f(\tan(x))\dd x=\int f(t)\frac{\dd t}{1+t^2}}$$

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Re: Artículo: ¿Y cómo integro?

Gracias, buen aporte!

[Al2000]

[Beto], un error de edición menor... donde pones "Definición 1.2. Se llama integral definida a una primitiva..." supongo debería decir integral indefinida.

Saludos,

Al