¿Y cómo integro?

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3.4 Integración de funciones irracionales

Integración de algunas funciones irracionales por sustitución trigonométrica

Cuando se tiene una integral de la siguiente forma:

$$\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\dd x$$

lo que es recomendable hacer es completar cuadrados de manera que la integral acaba teniendo la forma de:

$$\int R\left(x, \sqrt{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}\right)$$

donde si se hace el cambio de variable $u=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ queda que $\dd u =\dd x$ y $n=\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)$entonces:

$$\int R\left(x, \sqrt{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}\right)=\int r(\sqrt{au+n})\dd u$$

donde dependiendo de los signos de $a$ y $n$ la integral se resolverá haciendo cambios de variable similares a los mencionanos en la sección de sustitución trigonométrica.

Integración de funciones de la forma $\dst\mathbf{R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac{n}{m},\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac{r}{s}\right)}$

Se debe de entender que en este caso los números $r,s,\dots,n,m$ son enteros y que las operaciones realizadas con los diferentes términos de la función no altera el hecho de que sean expresiones racionales.

Luego se toma el mínimo común denominador de los denominadores de $\frac{n}{m},\dots,\frac{r}{s}$ y si suponemos que se obtiene que es $k$, entonces el cambio de variable a realizar es:

$$t^k=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow \dd x=\frac{\left( a\,d-b\,c\right) \,k\,{t}^{k-1}}{{\left( c\,{t}^{k}-a\right) }^{2}}\dd t$$

Teniendose ahora que resolver una integral racional, la cual ya es más sencilla de hacer.

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Re: Artículo: ¿Y cómo integro?

Gracias, buen aporte!

[Al2000]

[Beto], un error de edición menor... donde pones "Definición 1.2. Se llama integral definida a una primitiva..." supongo debería decir integral indefinida.

Saludos,

Al