Cuantización canónica

Definamos la cuantización canónica:

Cuantizar es efectuar una transición desde una teoría clásica a una teoría cuántica.

Ampliando un poco: Nos dan un sistema clásico, y queremos formular su teoría cuántica asociada de modo que al ir al límite clásico de la misma retornemos a la teoría clásica original.

Esto que puede parecer una perogrullada no siempre se da, de hecho LQG aún no ha demostrado que su límite clásico contiene a la relatividad general, aunque se cuantiza a partir de la misma.

Para los que les mole la rigurosidad, el proceso de cuantización se puede ver desde la prespectiva de categorias y functores. Esta teoría matemática establece relaciones, aplicaciones, que nos relacionan elementos de conjuntos de estructuras matemáticas. (Lo se, a saber que quiere decir eso.)

Generalmente estamos acostumbrados a definir aplicaciones entre dos espacios vectoriales, entre dos variedades, entre dos espacios topológicos. Pero en la teoría de categorías lo que se hace es relacionar el conjunto de topologías, cuyos elementos son toda la estructura topologica asociada, con el conjunto de los espacios de Hilbert, por poner un ejemplo. Es decir, es capaz de relacionar functorialmente, que es el nombre pijo que se les da a las aplicaciones entre categorías, un espacio que solo tiene una estructura topológica, con un espacio que tiene la estructura de espacio de Hilbert. Esto quiere decir que podré argumentar sobre aspectos topológicos del primer espacio llevando esa información hasta un Hilbert y haciendo cálculos con sus herramientas que en el primer espacio no las tenía, una vez tengo el resultado invierto la aplicación y veo que cosa topolótica es la que tengo.

A lo que ibamos, cuantizar es encontrar la relación entre una variedad simplectica (espacio de fases clásico con un Parentesis de Poisson definido) y un espacio de Hilbert con sus operadores definidos sobre él.

¿Qué es cuantizar?

Dada una teoría clásica podemos encontrar el conjunto de coordenadas que las describen. Usualmente las denotamos por (q,p), (siempre un número par, el mismo número de q's, que de p's).

A las q's las llamamos variables o coordenadas de configuración y pertenecen al espacio de configuración del sistema, Q.

Las p's son los momentos canónicos asociados, y usualmente pertenecen al contangente del espacio de configuración en cada punto q del mismo, $T_q^*Q$. (Es decir, es sentido estricto los momentos no son vectores sino 1-formas, o aplicaciones lineales que actuan sobre un vector.)

Pues bien, podemos construir un espacio que sea la unión de todos los cotangentes, T*Q. Este espacio se denomina espacio de fases y tiene por coordenadas (q, p), así que tendrá una dimensión doble a la de Q y por tanto siempre será par.


Pregunta: ¿Qué es un observable en clásica?

Cualquier función real de las coordenadas del espacio de fases. f(q,p)

Pregunta: ¿Qué es un observable en cuánica?

Un operador autoadjunto y lineal que actua sobre un espacio de Hilbert, que usualmente es un espacio de funciones de las cuales podemos integrar su cuadrado. $\mathcal{H}=L^2(\psi)$. Nos interesa que podamos integrar su cuadrado ya que las funciones del Hilbert serán usualmente complejas pero su cuadrado será una cantidad real e interpretable en términos físicos.

Y volviendo al tema, ¿Qué es cuantizar?

Pues cuantizar es encontrar la regla que le asocia a cada observable clásico un operador autoadjunto sobre el espacio de Hilbert.

Lo que se tiene que cumplir es:

1.- La relación f-->Q es lineal

2.- La función f=1 tendrá asociada el operador identidad que al actuar sobre los elementos del hilbert los deje inalterados.

3.- Los operadores $\hat{q}\psi=q\psi$ y $\hat{p}\psi=-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}$

Actuan de ese modo para funciones $\psi\in L^2(\mathds{R}^n,dq)$

Y esto que en principio era un postulado pues hoy día es una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann, que establece que esos son los únicos operadores que cumplen:

$[\hat{q_i},\hat{p_j}]=i\hbar\delta_{ij}\mathcal{I}$

¿Y esto cómo se come?

Un sistema físico con n grados de libertad se expresa en un espacio de fases de dimensión 2n con coordenadas (q, p) (habrá n/2 de cada una de ellas por supuesto). Estos son los observables clásicos de posición y momento.

Pues lo que encontramos es la manera de expresarlos como operadores que ahora actúan sobre un espacio de Hilbert.


Así pues, si queremos ir a cuantizar una teoría clásica siguiendo el formalismo anteriormente descrito que es un resumen castaña de lo que se conoce como cuantización canónica, pues tendremos que encontrar su formulación en un espacio de fases, Lagrangiana o Hamiltoniana, encontrar sus observables clásicos y llevarlos a operadores sobre un Hilbert.