¿Se puede viajar en el tiempo?

[Cara cruzada]

En relatividad especial, estamos obligados a realizar las observaciones desde un sistema inercial, cuyas coordenadas espacio temporales son (t, x, y, z). Tened en cuenta que t no es más que el tiempo medido por un reloj que esté en reposo respecto a dicho sistema inercial. Por ejemplo, el carillón de un campanario.

En este sistema de referencia, tenemos una partícula que se mueve (podemos imaginarlo como una persona en un cohete). Dicha partícula lleva un reloj. El tiempo que marca dicho reloj se llama tiempo propio, y lo denotaremos mediante $\tau$. El observador de nuestro sistema inercial se dedica a anotar las coordenadas espacio-temporales donde se encuentra la partícula para cada valor de su tiempo propio $\tau$. Es decir, obtendrá una trayectoria espacio-temporal definida mediante cuatro funciones,

$$x^\mu = \Big( t(\tau),\ x(\tau),\ y(\tau),\ z(\tau),\ \Big).$$

Fijaos que el sistema de referencia no está usando su propio reloj como parámetro, sino el reloj solidario a la partícula. Si quisiera, podría hacerlo, pero sería un poco más engorroso para lo que queremos hacer.

Como en mecánica Newtoniana, la velocidad se obtiene simplemente derivando respecto del tiempo. En este caso, recibe el nombre de cuadri-velocidad,

$$u^\mu = \left( \frac{\dd t}{\dd\tau},\ \frac{\dd x}{\dd\tau},\ \frac{\dd y}{\dd\tau},\ \frac{\dd z}{\dd\tau},\ \right).$$

Por simplificar, vamos a suponer que la partícula se mueve sólo en una dimensión, y = z = 0. La relatividad especial exige que estas derivadas cumplan la siguiente relación,

$$\left( \frac{\dd t}{\dd\tau} \right)^{\!\!2}<br /> - \left( \frac1c \frac{\dd x}{\dd\tau} \right)^{\!\!2}<br /> =<br /> \left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> 1 & m \neq 0 , \\<br /> 0 & m = 0 .<br /> \end{array}<br /> \right.$$

A nosotros nos interesan las partículas con masa, como un ser humano. Por lo tanto, tomamos la igualdad a 1. Podemos aislar de forma muy simple lo que podríamos llamar velocidad temporal,

$$\frac{\dd t}{\dd\tau} = \sqrt{ 1 + \left( \frac1c \frac{\dd x}{\dd\tau} \right)^{\!\!2} } \ .$$

Esta derivada compara el ritmo de los dos relojes. Fijaos que siempre es mayor que uno, es decir, visto desde el sistema de referencia, su propio reloj $t$ avanza más rápido que el de la partícula en movimiento, $\tau$. Este es el conocido efecto de dilatación temporal, escrito de una forma un poco rara (ya que $v = \frac{\dd x}{\dd t} \neq \frac{\dd x}{\dd\tau}$).

Otra característica de esta ecuación es que el cociente entre el ritmo de ambos relojes nunca puede cambiar de signo (de hecho, nunca puede ser menor a 1; para poder cambiar de signo debería poder acercarse a 0, de acuerdo con el teorema de Bolzano). Por lo tanto, sea cual sea el movimiento de la partícula, nunca podrá viajar atrás en el tiempo.

Si la partícula nunca se mueve, la derivada de $x(\tau)$ es siempre cero y por lo tanto

$$\dd t = \dd \tau .$$

Como un reloj nunca se mueve con respecto de si mismo, esto implica que no podemos alterar la velocidad hacia la que viajamos hacia nuestro futuro.

Sin embargo, la ecuación (4) nos permite elegir la velocidad con la que nos movemos hacia el futuro de los demás. Si emprendemos un viaje a gran velocidad, durante el cual experimentaremos un tiempo $\tau$, y volvemos a la Tierra (el origen del sistema de referencia inercial), en ella habrá transcurrido un tiempo

$$t = \int\!\dd\tau\ \sqrt{ 1 + \left( \frac1c \frac{\dd x}{\dd\tau} \right)^{\!\!2} } \ .$$

Como la raíz cuadrada siempre es mayor a uno, siempre tendremos $t \ge \tau$. Es decir, habremos viajado hacia el futuro de la Tierra. Sin embargo, como la raíz no puede cambiar de signo, es imposible volver hacia atrás.


La presencia de gravitación introduce un gran cambio en la ecuación (3). En las situaciones más sencillas, podemos escribir

$$A(x^\mu) \left( \frac{\dd t}{\dd\tau} \right)^{\!\!2}<br /> - B(x^\mu) \left( \frac1c \frac{\dd x}{\dd\tau} \right)^{\!\!2}<br /> =<br /> \left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> 1 & m \neq 0 , \\<br /> 0 & m = 0 .<br /> \end{array}<br /> \right.$$

$A(x^\mu)$ y $B(x^\mu)$ son funciones que normalmente son positivas. Hay algunas excepciones, por ejemplo dentro de agujeros negros. La presencia de estos factores no altera el argumento anterior demasiado, sigue siendo cierto que una partícula no puede repentinamente moverse hacia atrás en el tiempo. La dimensión temporal sólo se puede recorrer en un sentido.

Sin embargo, sí es posible imaginar efectos topológicos, una curvatura del espacio-tiempo que permite volver al mismo punto espacio-temporal sin cambiar de sentido en ningún momento. Sin embargo, como ya hemos dicho anteriormente, actualmente se duda que este tipo de fenómenos puedan ocurrir en el universo real.

Foto | Jorgefelipe.cl

[Cara cruzada]

Buen artículo, aunque me he perdido un poco con lo de los pliegues espacio-temporales. ¿Afecta la gravedad al trascurso del tiempo? Es decir, si pudiesemos vivir en el Sol, ¿el tiempo pasaría más despacio para nosotros que para los terrestres? Igual son preguntas estúpidas, pero de relatividad general ando un poco pez Sé que es difícil explicar estas cosas sin caer en la falta de rigor sin la parte matemática, así que gracias por adelantado

Saludetes