Justificación de la definición de derivada

[QED]

Hola compañeros de La web de Física. En este artículo justificaremos la definición de derivada. Si nunca has tenido contacto con este tema, sería conveniente que llevases una buena base en funciones y límites.

Una derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho punto de una función. La recta tangente es aquella que toca a la función en un solo punto del entorno.

La recta $g(x)=3x-2$ es tangente a la función cúbica $f(x)=x^3$ en el punto $(1,1)$

Para explicar la definición de derivada imaginemos el siguiente ejemplo.
Si consideramos en una función un intervalo $[a,x]$ y sus respectivas imágenes, $f(a)$ y $f(x)$:

En la función $g(x)=\sqrt{2x}$, escogemos como intervalo $[a,x]$ al intervalo $[0.6,2.2]$ , y sus respectivas imágenes nos dan el intervalo $[1.1,2.1]$

Al intervalo $[a,x]$ vamos a representarlo por $\Delta x$ y al intervalo $[f(a),f(x)]$ lo representaremos con $\Delta y$ .

Trigonometricamente hablando, definimos la tangente de un ángulo como la relación entre el cateto opuesto y el cateto contiguo de un triángulo rectángulo. En nuestro ejemplo, siendo $\alpha$ el ángulo comprendido en el triángulo rectángulo que se muestra en la anterior figura, la tangente será.

$$\displaystyle\tan(\alpha)=\frac{cat.op}{cat.cont}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

A esta última expresión la llamamos cociente incremental.

Ahora bien, ¿cómo podemos obtener estos $\dst \Delta$?

$\Delta x$ es si al valor de $x$ le restamos el valor de $a$ . Es decir:

$$\Delta x= x-a$$

Con $\Delta y$ pasa lo mismo. Es si al valor de $f(x)$ le restas el valor de $f(a)$. Por tanto:

$$\Delta y= f(x)-f(a)$$

Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1), tenemos que:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Pero dijimos que una derivada era la pendiente de la recta tangente a un punto de una función, y como vemos, la recta verde de nuestra imagen no es tangente, porque no toca en un punto, sino secante, porque atraviesa a la función y la corta en dos puntos distintos.

Si fuesemos acercando el punto $x$ hacia el punto $a$, veríamos que poco a poco $\Delta x$ tendería a 0. Y puesto que sus imágenes también se iran acercando, es decir, $f(x)$ se aproxima a $f(a)$ entonces $\Delta y$ tambien tenderá a 0. Cuando $\Delta x$ y $\Delta y$ tienden a 0, todo se acerca a un punto, que es el que nos da la recta tangente.

Como podemos observar en la imagen anterior, cuanto más vamos acercando el valor de x hacia a con más exactitud se va definiendo la pendiente de la función en dicho intervalo.

De modo que si a y x se superponen, nos quedaría esto:

La definición de derivada es lo que habíamos dicho en la ecuación (4) salvo que cuando la $x$ tiende a $a$.

Por tanto, podemos definir una derivada como:

$$\displaystyle \boxed{y'= \lim_{ x\to a}\; \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}$$

Ahora bien, si llamamos $h=x-a$, entonces $x=h+a$ , por lo que:

$$\displaystyle \boxed{y'= \lim_{ h\to 0}\; \frac{f(h+a) - f(a)}{h}}$$

Hay más formas de expresar una derivada. Por ejemplo, si fuese el punto $a$ quien se aproximase a $x$, entonces en la ecuación anterior tendremos que $x=a$ , por lo que $h=a-x$ :

$$\displaystyle y'= \lim_{ x\to a}\; \frac{f(a) - f(x)}{a-x}\; \longrightarrow \; y'= \lim_{ h\to 0}\; \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Y si en lugar de llamar $h$ a la diferencia de $a-x$ , la llamamos, como en nuestro ejemplo, $\Delta x$:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}}$$

Esta última expresión es la que utilizaremos para, a continuación, proceder a demostrar las reglas para obtener las derivadas de algunas funciones.

Pero hemos dicho que una derivada nos da la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. ¿Cómo se puede hallar, pues, dicha recta? Muy simple, veamos.

Supongamos que nos dan la función $f(x)=x^3$ y nos piden calcular la ecuación de la recta tangente en el punto $(1,1)$ (véase figura 1).
En primer lugar, para calcular la ecuación de la recta necesitamos su pendiente. Como hemos explicado, la pendiente de
la recta tangente a un punto de una función se le llama derivada, por tanto hemos de derivar la función $f(x)$.
¿Cómo derivar dicha función? Lo más sencillo es aplicar la regla de la derivada de una potencia, pero puesto que no tenemos por qué saber aplicar esta regla, lo haremos mediante la definición de derivada.

$$\displaystyle y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

Ahora puesto que nuestra función es $f(x)=x^3$ , sustituimos en la definición de derivada:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$$

Operando el binomio:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{x^3 +3x^2\Delta x +3x{\Delta x}^2 + {\Delta x}^3 - x^3}{\Delta x}$$

Simplificamos:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{3x^2\Delta x +3x{\Delta x}^2 + {\Delta x}^3}{\Delta x}$$

Sacamos factor común en el numerador a $\Delta x$

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{\Delta x \cdot\left( 3x^2 +3x\Delta x + {\Delta x}^2 \right) }{\Delta x}$$

Ahora simplificamos el $\Delta x$, puesto que multiplica tanto en el numerador como en el denominador:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \left( 3x^2 +3x\Delta x + {\Delta x}^2 \right) = 3x^2$$

Y ya tenemos que $f'(x)=3x^2$ . Con este método podemos calcular cualquier derivada, pero puesto que es un método largo y peregrino, hay una regla para cada tipo de derivada, las cuales están demostradas a partir de la definición de límite. Al final de este artículo puedes encontrar la lista de todas las demostraciones.

Bien, como nos piden la pendiente de la recta tangente en el punto $(1,1)$, vemos que $f'(1)=3$ . Esto quiere decir que la pendiente de nuestra recta es tres: $m=3$

Y ahora queda un cálculo sencillo. ¿Cómo hallar la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto por donde pasa?
La forma más sencilla es utilizar la ecuación de la recta punto pendiente:

$$y-y_0=m(x-x_0)$$

Siendo $(x_0,y_0)$ un punto por donde pasa la recta (en nuestro caso, el punto de tangencia). Sustituyendo los valores que tenemos en la ecuación de la recta:

$$y-1=3(x-1)\; \Rightarrow \; y=3x-3+1 \; \Rightarrow \; y=3x-2$$

Y ya hemos calculado la ecuación de la recta tangente a la función $y=x^3$ en el punto $(1,1)$ .
Compruébese en la primera imagen cómo nos coinciden los resultados.

Para cada tipo de función, existe una regla para derivarla. Esto hace muy cómodo el proceso de derivar, ya que en lugar de tener que aplicar la definición podemos resolverlas aplicando la regla adecuada a cada una. Por supuesto, estas reglas se demuestran a partir de la definición y podrás encontrar todas las demostraciones al final de este artículo. A continuación expondré un par de tablas con las reglas de derivación. La primera, para funciones elementales. La segunda, para funciones compuestas. La tabla de las funciones elementales funcionará como "chuletilla" en caso de que se quiera consultar para agilizar un proceso. Aunque para ser correctos, en caso de que tengamos una función compuesta hemos de aplicar la regla de la cadena, por ello adjunto también una tabla de las funciones compuestas.

REGLAS DE DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIÓN	FUNCIÓN DERIVADA	EJEMPLO
Constante
$$y=k$$
	$$y'=0$$
	$$y=5 \quad \Rightarrow \quad y'=0$$
Identidad
$$y=x$$
	$$y'=1$$
	$$y=x \quad \Rightarrow \quad y'=1$$
Funciones potenciales
$$y=x^n$$
	$$y'=n\cdot x^{n-1}$$
	$$y=x^5 \quad \Rightarrow \quad y'=5x^4$$
$$y=\dst \sqrt[n]{x}$$
	$$y'=\dfrac{1}{n\dst \sqrt[n]{x^{n-1}}}$$
	$$y= \sqrt[5]{x}\quad\Rightarrow \quad y'=\dfrac{1}{5\dst \sqrt[5]{x^4}}$$
Funciones exponenciales
$$y=e^x$$
	$$y'=e^x$$
	$$y=e^x \quad \Rightarrow \quad y'=e^x$$
$$y=a^x$$
	$$y'=a^x \cdot \ln a$$
	$$y=2^x \quad \Rightarrow \quad y'=2^x \cdot \ln 2$$
Funciones logarítmicas
$$y=\ln x$$
	$$y'=\dfrac 1x$$
	$$y=\ln x \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac 1x$$
$$y=\log_a x$$
	$$y'=\dfrac {1}{x\cdot \ln a}$$
	$$y=\log_2 x \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{1}{x\cdot \ln 2}$$
Funciones trigonométricas
$$y=\sin x$$
	$$y'=\cos x$$
	$$y=\sin x \quad \Rightarrow \quad y'=\cos x$$
$$y=\cos x$$
	$$y'=-\sin x$$
	$$y=\cos x \quad \Rightarrow \quad y'=-\sin x$$
$$y=\tan x$$
	$$y'=1+{\tan}^2 x$$
	$$y=\tan x \quad \Rightarrow \quad y'=1+{\tan}^2 x$$
$$y=\csc x$$
	$$y'=-\csc x \cdot \cot x$$
	$$y=\csc x \quad \Rightarrow \quad y'=-\csc x \cdot \cot x$$
$$y=\sec x$$
	$$y'=\sec x \cdot \tan x$$
	$$y=\sec x \quad \Rightarrow \quad y'=\sec x \cdot \tan x$$
$$y=\cot x$$
	$$y'=-{\csc}^2 x$$
	$$y= \cot x \quad \Rightarrow \quad y'=-{\csc}^2 x$$
$$y=\arcsin x$$
	$$y'=\dfrac{1}{\dst \sqrt{1-x^2}}$$
	$$y= \arcsin x \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{1}{\dst \sqrt{1-x^2}}$$
$$y=\arccos x$$
	$$y'=\dfrac{-1}{\dst \sqrt{1-x^2}}$$
	$$y=\arccos x \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{-1}{\dst \sqrt{1-x^2}}$$
$$y=\arctan x$$
	$$y'=\dfrac{1}{\dst 1-x^2}$$
	$$y=\arctan x \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{1}{\dst 1-x^2}$$

REGLAS DE DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES COMPUESTAS

FUNCIÓN	FUNCIÓN DERIVADA	EJEMPLO
Constante
$$y=k$$
	$$y'=0$$
	$$y=5 \quad \Rightarrow \quad y'=0$$
Identidad
$$y=x$$
	$$y'=1$$
	$$y=x \quad \Rightarrow \quad y'=1$$
Funciones potenciales
$$y=u^n$$
	$$y'=n\cdot u^{n-1}\cdot u'$$
	$$y=(x^2+3x+1)^5 \quad \Rightarrow \quad y'=5(x^2+3x+1)^4\cdot (2x+3)$$
$$y=\dst \sqrt[n]{u}$$
	$$y'=\dfrac{1}{n\dst \sqrt[n]{u^{n-1}}} \cdot u'$$
	$$y= \sqrt[5]{3x^2-1}\quad\Rightarrow \quad y'=\dfrac{6x}{5\dst \sqrt[5]{(3x^2-1)^4}}$$
Funciones exponenciales
$$y=e^u$$
	$$y'=e^u\cdot u'$$
	$$\dst y=e^{-x^5 +4x^3} \quad \Rightarrow \quad y'=\dst e^{-x^5 +4x^3}\cdot (12x^2-5x^4)$$
$$y=a^u$$
	$$y'=a^u \cdot \ln a \cdot u'$$
	$$y=2^{x^2-1} \quad \Rightarrow \quad y'=2^{x^2-1} \cdot \ln 2\cdot 2x$$
Funciones logarítmicas
$$y=\ln u$$
	$$y'=\dfrac 1u \cdot u'$$
	$$y=\ln (-x+5) \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac {-1}{-x+5}$$
$$y=\log_a u$$
	$$y'=\dfrac {1}{u\cdot \ln a}\cdot u'$$
	$$y=\log_2 (x^{10}+1) \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{10x^9}{(x^{10}+1)\cdot \ln 2}$$
Funciones trigonométricas
$$y=\sin u$$
	$$y'=\cos u \cdot u'$$
	$$y=\sin \left(e^x \right) \quad \Rightarrow \quad y'=\cos \left(e^x \right) \cdot e^x$$
$$y=\cos u$$
	$$y'=-\sin u \cdot u'$$
	$$y=\cos (x^2) \quad \Rightarrow \quad y'=-\sin (x^2) \cdot 2x$$
$$y=\tan u$$
	$$y'=(1+{\tan}^2 u) \cdot u'$$
	$$y=\tan (4x) \quad \Rightarrow \quad y'=4\cdot \left[1+{\tan}^2 (4x)\right]$$
$$y=\csc u$$
	$$y'=-\csc u \cdot \cot u \cdot u'$$
	$$y=\csc (\ln x) \quad \Rightarrow \quad y'=-\csc (\ln x) \cdot \cot (\ln x) \cdot \dfrac 1x$$
$$y=\sec u$$
	$$y'=\sec u \cdot \tan u \cdot u'$$
	$$y=\sec (\sin x) \quad \Rightarrow \quad y'=\sec (\sin x) \cdot \tan (\sin x) \cdot \cos x$$
$$y=\cot u$$
	$$y'=-{\csc}^2 u \cdot u'$$
	$$y= \cot (\cos x) \quad \Rightarrow \quad y'={\csc}^2 (\cos x) \cdot \sin x$$
$$y=\arcsin u$$
	$$y'=\dfrac{1}{\dst \sqrt{1-u^2}} \cdot u'$$
	$$y= \arcsin (9x) \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{9}{\dst \sqrt{1-(9x)^2}}$$
$$y=\arccos u$$
	$$y'=\dfrac{-1}{\dst \sqrt{1-u^2}}\cdot u'$$
	$$y=\arccos (\log_2 x) \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{-1}{\dst \sqrt{1-(\log_2 x)^2}}\cdot \dfrac{1}{x \cdot \ln 2}$$
$$y=\arctan u$$
	$$y'=\dfrac{1}{\dst 1-u^2}\cdot u'$$
	$$y=\arctan (2^x) \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{2^x \cdot \ln 2}{\dst 1-(2^x)^2}$$
Derivada de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
$$y=u+v$$
	$$y'=u'+v'$$
	$$y=2x^2 + \sin x \quad \Rightarrow \quad y'=4x + \cos x$$
$$y=u-v$$
	$$y'=u' - v'$$
	$$y=\ln x - e^x \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac 1x - e^x$$
$$y=u \cdot v$$
	$$y'=u' \cdot v + u \cdot v'$$
	$$y= 3^x \cdot \cos x \quad \Rightarrow \quad y'= \cos x \cdot 3^x \cdot \ln 3 - 3^x \cdot \sin x$$
$$y=\dfrac uv$$
	$$y'=\dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$
	$$y=\dfrac{x^2}{ \ln x} \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{x\cdot(2\cdot \ln x - 1)}{{\ln}^2 x}$$
Composición de funciones (regla de la cadena)
$$y=u(v)$$
	$$y'=u'(v) \cdot v'$$
	$$y=\ln (\cot x) \quad \Rightarrow \quad y'=\dfrac{-1}{\cot x} \cdot {\csc}^2 x$$
Derivación logarítmica (una función elevada a otra función)
$$y=u^v$$
	$$y'=u^{v-1} \cdot \left(v' \cdot u \cdot \ln v +v\cdot u'\right)$$
	$$y=x^{x} \quad \Rightarrow \quad y'=x^x (\ln x+1)$$

Si deseas ver la demostración de todas estas reglas, las puedes encontrar en estos enlaces:

Demostración de la derivada de una constante y de la función identidad

Demostración de la derivada de la suma

Demostración de la derivada del producto

Demostración de la derivada del cociente

Demostración de la derivada de la potencia y la raíz

Demostración de la derivada exponencial

Demostración de la derivada de la función logarítmica

Demostración de las funciones trigonométricas I (seno y coseno)

Demostración de las funciones trigonométricas II (tangente y cotangente)

Demostración de las funciones trigonométricas III (secante y cosecante)

Regla de derivación en cadena y demostración de las derivadas trigonométricas inversas básicas

Demostración de la derivada de una función elevada a otra función

Estoy abierto a cualquier sugerencia. Espero que este artículo les haya servido.
Saludos, Ángel.

[Cat_in_a_box]

Ángel, creo que se te ha colado una x en la tabla de derivación compuesta, en concreto en la derivación logarítmica. Fíjate, has puesto:

$$y=\ln u\Longrightarrow y'=\dfrac 1x \cdot u'$$

¿No sería más bien?

$$y'=\dfrac 1u \cdot u'$$

Muy buena recopilación, ¡qué dedicación la tuya!

[Cat_in_a_box]

Vale, no sé cómo se ha podido duplicar mi mensaje. Siento parecer spam

[angel relativamente]

¡Un spammer!

Muchas gracias Cat por tu observación, ya lo he modificado. Eso me pasa por hacer copy-paste de la tabla de funciones elementales y luego querer cambiar todas las x por u entre el amasijo de símbolos que se crea con el $\LaTeX$ y la tabla