Física y matemática necesaria para lanzar un cohete.-16. Una pincelada relativista sobre órbitas.

[Richard R Richard]

16. Una pincelada relativista sobre órbitas.



En esta última entrada hablare de los efectos relativistas en el cálculo de las órbitas de los satélites.
Poco humildemente puedo agregar a los desarrollos matemáticos complejo que resultan de la teoría de la relatividad general, pero lo que quiero maraca cuales serían los límites de la teoría Newtoniana que venimos utilizando.

Buenos artículos que desarrollan el tema están incluso en la Wikipedia

El problema de los dos cuerpos en la RG
https://es.wikipedia.org/wiki/Proble...ividad_general


El espacio tiempo curvo y la métrica de Schwarzschild https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._Schwarzschild

El espacio tiempo curvo y la métrica de Kerr-Newman
https://es.wikipedia.org/wiki/Agujero_negro_de_Kerr


Gráficas comparativas entre órbitas newtonianas versus las de relatividad general
https://es.wikipedia.org/wiki/Archiv...ajectories.gif


Bueno, veamos la diferencia entre teorías,

Teoría newtoniana

• Las interacciones o fuerzas son instantáneas o tienen velocidad infinita
• La gravedad es una fuerza en un espacio euclídeo.
• No hay límite de velocidades relativas
• El tiempo es una magnitud absoluta para todos los observadores.
• Las órbitas se calculan a partir de lagrangianos, o bien de potenciales de energía mecánica
• Las órbitas para un cuerpo de masa despreciable en rotación sobre otro tienen expresión analítica
• El problema de los 3 cuerpos no tiene solución analítica, solo aproximaciones cuando la partícula de prueba tiene masa despreciable

Teoría de la relatividad general y especial

• Las interacciones se producen con un retardo relativo a la distancia que se separan los cuerpos, la velocidad de la interacción es la velocidad de la luz c.
• La gravedad es la consecuencia de la existencia de un espacio tiempo curvo.
• El límite de las velocidades relativas es c
• El tiempo es una magnitud relativa al observador.
• Las órbitas se calculan como geodésicas del espacio tiempo, donde la geometría de ese espacio está relacionada con el tensor de energía momento, por medio de las ecuaciones de campo de Einstein
• Las órbitas para un cuerpo de masa despreciable en rotación sobre otro tienen expresión analítica por la solución de la Métrica de Schwarzschild
• El problema de los 3 cuerpos no tiene solución analítica, ni siquiera si la masa de uno de los cuerpos tiene masa despreciable.

Fundamentalmente hay que destacar que cuando se quiere hilar muy fino en las ecuaciones de las órbitas usando la TRG, es que todas las órbitas de TRG, tienen precesión de periastro, es decir mínimamente o más marcadamente, las órbitas no son elipses perfectas sino que el periastro se va desplazando un cierto ángulo en cada revolución, La teoría newtoniana no podía explicar el corrimiento del perihelio de Mercurio, pero en la TRG surge de manera natural.

https://es.wikipedia.org/wiki/Mercur..._del_perihelio
https://francis.naukas.com/2010/08/0...rber-einstein/

Para un solo cuerpo y una partícula de prueba, en una solución de vacío la TRG tiene una solución exacta, la métrica de Schwarzschild, con la que pueden calcularse órbitas, y potenciales como en la teoría newtoniana.

Con esta solución se predice un nuevo tipo de objeto astronómico, del cual ni siquiera la luz podría escapar debido a la curvatura del espacio tiempo que provoca, si los agujeros negros.
Pero nuestro caso, las estructuras de los planetas son millones de veces menos densa que las de los agüeros negros, por lo que centraremos el estudio en planetas, estrellas, satélites naturales asteroides, cometas, mucho menos masivos, y donde la curvatura del espacio tiempo en poco marcada, de allí que la diferencia numérica entre ambas teoría es tan pequeña que el error cometido por seguir usando la teoría newtoniana, sigue siendo despreciable.

Pero igual tengamos en cuenta cuales son los aspectos que permiten proyectar en un espacio 3d las trayectoria orbitales de los principales cuerpo celestes.
Como vimos un sistema ideal de dos cuerpos tiene solución analítica, y dadas las condiciones iniciales del movimiento se pueden obtener a futuro la posición velocidad y aceleración para cualquier momento.

A que le interese puede ver
https://forum.lawebdefisica.com/blog...avitaci%C3%B3n

Pero en relatividad general
Las órbitas son geodésicas de un espacio curvo cuya métrica es solución de las ecuaciones de campo de Einstein


$R_{\mu\nu}-\dfrac12g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$

Estos objetos matemáticos deben calcularse para la métrica de Schwarzschild

$g = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t \otimes \mathrm{d}t + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r + r^2 \left(\mathrm{d}\theta\otimes \mathrm{d}\theta + \sin^2\theta\ \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi \right)$

Con la cual se calculan las geodésicas con la formula

$\ddot x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\rho} \ \dot x^{\mu}=0$

Donde los $\varGamma_{\nu\rho}^{\mu}$ son los símbolos de Christofell de la métrica que se calculan como

$\varGamma^{\rho}_{\mu \nu}=\frac 12<br /> g^{\rho \lambda}(\partial_{\mu}g_{ \lambda \nu}<br /> +\partial_{\nu}g_{ \mu \lambda}-\partial_{\lambda}g<br /> _{ \mu \nu})$

De esta forma se llega a un sistema de cuatro ecuaciones paramétricas

$\begin{cases} \ddot{t} + \cfrac{2\mu}{r(r-2\mu)}\dot{t}\dot{r} = 0 \\<br /> \ddot{r} + c^2\cfrac{\mu(r-2\mu)}{r^3}\dot{t}^2 - \cfrac{\mu}{r(r-2\mu)}\dot{r}^2 - (r-2\mu) \left[ \dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \dot{\phi}^2 \right]= 0 \\<br /> \ddot{\theta} + \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\theta} -\sin \theta \cos \theta \dot{\phi}^2 = 0 \\<br /> \ddot{\phi} + \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\phi} + \cfrac{2}{\tan \theta}\dot{\phi}\dot{\theta}= 0 \end{cases} \qquad \mu=\dfrac{GM}{c^2}$

Ojo que aquí $\mu$ no es la masa reducida de la teoría newtoniana, ni tampoco un subíndice como las ecuaciones anteriores. Es un parámetro del sistema proporcional a la masa del objeto más masivo.
Con estas cuatro ecuaciones paramétricas se pueden graficar las órbitas mediante

https://forum.lawebdefisica.com/blog...e-schwarzchild
El espacio tiempo de Schwarzschild es una espacio simplificado respecto de uno real cuyo objeto masivo, rota, cuando las velocidades de rotación son elevada y las masas también hay una marcada diferencia con lo que predice esta métrica, por lo que se han propuesto otras soluciones como la Métrica De Kerr-Newman

$\begin{aligned}<br /> g = -c^{2} d\tau^{2}<br /> =-\left( 1 - \dfrac{r_{s} r}{\Sigma} \right) c^{2} dt^{2} + \dfrac{\Sigma}{\Delta} dr^{2} + \Sigma d\theta^{2}<br /> + \left( r^{2} + a^{2} + \dfrac{r_{s} r a^{2}}{\Sigma} \sin^{2}\theta \right) \sin^{2}\theta \ d\phi^{2}<br /> - \dfrac{2r_{s} ra \sin^{2} \theta}{\Sigma} \, c \, dt \, d\phi<br /> \end{aligned}$

Que con el mismo método de cálculo de geodésica se pueden graficar las órbitas
https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351597-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-geod%C3%A9sicas-en-el-espacio-m%C3%A9trico-de-kerr
repito estas son las más precisas que se podrían utilizar, pero como el espacio tiempo en nuestro vecindario no es muy masivo ni rota demasiado rápido entonces es mejor calcular con soluciones más simples, ya que los errores introducidos son mínimos

Una de los principales usos de la TRG lo que permite sincronizar los relojes atómicos de los sistemas GPS ya que como se mueven a mayor velocidad que la superficie de la tierra sus relojes atrasan y también como a la atura donde orbitan hay menos gravedad ,sus relojes adelantan pero la compensación no es exacta y deben ser ajustados para que emitan la señal de posición con el mismo periodo con el que se espera recibirlas en la superficie.
El atraso por velocidad es

$\Delta t_{AE}=\dfrac{t_{0E}}{\gamma_A}- t_{0E} =t_{0E} \sqrt{1-\dfrac{{v_A-v_s}^2}{c^2}} - t_{0E}$

$V_A$ es la velocidad del satélite respecto al centro de la tierra y $v_s$ la velocidad de la superficie

$t_{0E}$ es el tiempo que se mide en la superficie

Y el adelanto por gravitación

$\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{2GM}{Rc^2}}$

Esto debe ser evaluado tanto a la altura del satélite $R_T+y$ como a la altura de la superficie $R_T$

La suma del atraso y el adelanto, para un periodo dado de tiempo ejemplo 1 segundo , daría el cambio de frecuencia con que debe programarse el reloj atómico para que envíen señales con periodo T y se reciban con periodo T’ en la superficie.

En la telemetría la RG también tiene influencia, puesto que el envío de señales periódicas y su retraso es lo que permite por medio de las ecuaciones del radar, determinar tanto la posición como la velocidad relativa de la nave.

Es tanta la precisión que se encontró en el viaje de las sondas Pioneer , una discrepancia en los valores de telemetría por lo cual se pensó que debía existir una nueva física y de ese modo surgieron innumerables teorías para explicar lo que la relatividad aparentemente no podía, aunque todo ha quedado como una anécdota , todavía hay quienes defienden esas teorías de gravedad modificada.
https://es.wikipedia.org/wiki/Anomal%C3%ADa_de_las_Pioneer

Saludos $\mathbb{R}^3$

Referencias

https://arxiv.org/
https://es.wikipedia.org/wiki/Asistencia_gravitatoria#:~:text=En%20astron%C3%A1utica%20se%20denomina%20asistencia,la%20sonda%20cambiando%20su%20trayectoria
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/celeste/transferencia/transferencia.html
https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec14.pdf
http://www.scielo.org.mx/pdf/rmfe/v61n1/v61n1a2.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_masa_variable
https://es.wikipedia.org/wiki/Anomal%C3%ADa_de_las_Pioneer
https://francis.naukas.com/2010/08/02/la-historia-de-la-anomalia-en-el-avance-del-perihelio-de-mercurio-y-la-formula-de-gerber-einstein/
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116274.msg465150#new
https://noticiasdelaciencia.com/art/7500/gran-enciclopedia-de-la-astronautica-119-aerodinamica
https://es.vvikipedla.com/wiki/Reentry_capsule
https://didactica.fisica.uson.mx/cursos/fisord/estadistica/atmosfera/atmosfera.html
https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/atmosmet.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/calor/atmosfera/atmosfera.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/celeste/oberth/oberth.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Oberth
https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/153102/Blesa%20-%20Obtenci%C3%B3n%20y%20an%C3%A1lisis%20de%20ventanas%20de%20lanzamiento%20y%20trayectorias%20en%20funci%C3%B3n%20del%20delta-V%20par....pdf?sequence=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Impulso_espec%C3%ADfico
https://es.wikipedia.org/wiki/Excentricidad_orbital
https://es.wikipedia.org/wiki/Transferencia_biel%C3%ADptica
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_n_cuerpos
https://es.wikipedia.org/wiki/El_problema_de_los_tres_cuerpos
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_cohete_de_Tsiolkovski#:~:text=La%20ecuaci%C3%B3n%20del%20cohete%20de,de%20la%20cantidad%20de%20movimiento.
https://es.wikipedia.org/wiki/Delta-v
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita_geoestacionaria
https://dle.rae.es/%C3%B3rbita
https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_arrastre#/media/Archivo rag-es.svg
https://www.nasa.gov/centers/johnson/copernicus/index.html
http://bibliotecadigital.usbcali.edu.co/bitstream/10819/1483/1/Metodologia_matematica_Analisis_Aerodinamico_cohetes_Bustos_2005.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita
https://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_efectivo
Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas



La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista

[Jaime Rudas]

Hola, Richard.
Dices:
«... todas las órbitas de TRG, tienen precesión de perigeo, es decir mínimamente o más marcadamente, las órbitas no son elipses perfectas sino que el perigeo se va desplazando un cierto ángulo en cada revolución, La teoría newtoniana no podía explicar el corrimiento del perigeo de mercurio, pero en la TRG surge de manera natural».

Cuidado: la teoría newtoniana también puede explicar la precesión del perihelio de Mercurio, pero no en su totalidad. O sea, puede explicar solo 532" de arco de los 575" observados. Los 43" restantes son los que se explican mediante la TGR.

PS: Recuerda que, para Mercurio, no se llama perigeo, sino perihelio o, más generalizado, periastro o, todavía más generalizado, periápside.

[Richard R Richard]

Hola Jaime, muchas gracias por leerme, después de tanto escribir , no creo sea el único gazapo me encuentres,
En un problema de dos cuerpos la órbita de uno respecto al otro es elíptica pura, o circular si la excentricidad pudiera ser exactamente 0 en teoría. En TRG con dos cuerpos ya no tienes una elipse como örbita siempre tienes un corrimiento de la periapsis., eso es lo que intentaba marcar en mi relato..

Estoy de acuerdo contigo, sobre el tema de la órbita de Mercurio quisiera aclarar que es el resultado de la combinación de varias fuerzas de varios cuerpos mas masivos ubicados en distintas direcciones espaciales y a distintas distancias,ya no es un problema de dos cuerpos, principalmente aportan el Sol , Saturno y Júpiter, con estas influencias , se puede estimar también que el perihelio de Mercurio tiene que ir moviéndose giro tras giro,
Aún así las teorías son tan precisas en sus predicciones que notaron que no se correspondía con los resultados experimentales y el modelo de la TRG predijo con mas exactitud el ángulo de avance del perihelio.

Me voy a releer para corregirme , Saludos