Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

[Breogan]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Hola:

La gravedad que crea la Luna en los diferentes lugares de la Tierra no es uniforme y ésa es la causa de las fuerzas de marea. Por otra parte, como ya se citó antes, para entender el fenómeno es esencial no considerar la Tierra como un todo, sino separar, cuando menos, el océano del resto. El torque que se ejerce sobre la parte no oceánica procede tanto de la Luna como de la masa líquida.

El torque que ejerce el océano sobre la parte no oceánica no es igual y de sentido contrario, por el principio de acción y reacción, que el que ejerce la parte no oceánica sobre el océano? Si es así, estos torques son internos del sistema Tierra, y no tienen influencia en la variación del momento angular de la Tierra, y solo nos queda el torque creado por la gravedad de la Luna.
Al cual todavía no le encuentro una clara explicación.

Voy a repetir un razonamiento de un post anterior, del que no estoy nada seguro, y del cual espero comentarios.
Creo que el torque producido por la gravedad de la Luna es debido a que las mareas desplazan el centro de gravedad de la Tierra fuera del eje de rotación de la Tierra, y que estos torques no se anulan en un ciclo completo por asimetrias de la Tierra.

s.e.u.o.

Suerte

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Pues no, parece que no coincide.

[carroza]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Hola. Para ver el origen de los torques en el sistema tierra-luna, imagina que la tierra, con sus océanos, tienen una cierta deformación. Es como si la parte sólida de la tierra siguiera siendo aproximadamente esférica, pero los océanos, fluidos, formaran un elipsoide.

El centro de masas de la tierra solida y de los océanos está en el mismo sitio. Sin embargo, la deformación del elipsoide hace que la fuerza de la luna sobre el elipsoide no vaya estrictamente en la dirección de la separación tierra-luna. Por tanto,la atracción de la luna genera un torque sobre el elipsoide de los océanos. Esto modifica el momento angular de los océanos, que se transmite al momento angular interno de la tierra en su conjunto.

Vayamos al movimiento de la luna con respecto a la tierra. La atracción de la tierra sólida (aproximadamente esférica) sobre la luna es central, por lo que no modifica el momento angular relativo tierra-luna. Sin embargo, la atracción del elipsoide de los océanos sobre la luna no es central. Genera un torque sobre la luna, que modifica su momento angular relativo.

Por el principio de acción y reacción, el torque que genera el elipsoide de océanos sobre la luna es el mismo, con sentido contrario, al que genera la luna sobre el elipsoide de océanos en la tierra. Por tanto, la suma de momentos angulares se conserva.

Esto quedaría más claro con un dibujo, pero espero el texto sólo aclare las cosas.

Un saludo

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Pues no, parece que no coincide.

Yo hice un cálculo que conduce a un orden de magnitud semejante al experimental.

Prescindiré del momento angular de rotación de la Luna, de manera que sólo consideraré una transferencia de momento angular entre la rotación terrestre y el movimiento orbital. Para no tener que teclear subíndices, usaré estos símbolos: $M$ es la masa de la Tierra, que trataremos como esférica, $R$ su radio, $\tau$ su período de rotación (día solar); $m$ es la masa de la Luna y $r$ su radio orbital. $\dst \mu=\frac{Mm}{M+m}$ es la masa reducida del sistema.

El término de rotación terrestre lo aproximamos entonces por

$$L_T=\frac{2}{5}MR^2\frac{2\pi}{\tau}=\frac{4\pi M R^2}{5\tau}$$

El orbital por

$$L_o=\mu r v$$

donde $v$ es la velocidad orbital de la Luna, que satisface

$$G\frac{Mm}{r^2}=\mu\frac{v^2}{r}$$

de manera que

$$v=\sqrt{G\frac{M+m}{r}}$$

y entonces al llevarlo a (2) tenemos, combinado con (1), un momento angular del sistema

$$L = \frac{4\pi M R^2}{5\tau}+\mu\sqrt{G(M+m)r}=M\left(\frac{4\pi R^2}{5\tau}+m\sqrt{G\frac{r}{M+m}}\right)$$

La conservación del momento angular implica que la derivada de la cantidad entre paréntesis es nula, de manera que

$$-\frac{4\pi R^2}{5\tau^2}\dot\tau+\frac{1}{2}m\sqrt{G\frac{1}{(M+m)r}}\ \dot r=0$$

de donde resulta

$$\dot\tau = \frac{5}{8\pi}\frac{m\tau^2}{R^2}\sqrt{G\frac{1}{(M+m)r}}\ \dot r$$

Al substituir los valores tabulados, junto con $\dot r = 0,0038$ m/año, si no me equivoqué con la calculadora, obtengo $\dot\tau=\notcien{1,73}{-5}$ s/año. Lo que significaría que, de mantenerse uniforme, deberían transcurrir 58000 años para que el día solar aumente en 1 s.

No son los casi 100 000 años que salen con el dato experimental, pero el modelo tampoco es demasiado fino.

Por cierto que, a la vista de (7), creo que se puede concluir también otra cosa interesante, respecto de los satélites artificiales que orbitan la Tierra: al ser el efecto proporcional a la masa del satélite, será absolutamente despreciable en el caso de los mismos.

Edito: suprimo la última frase porque claramente es una tontería. Empezando porque $\dot r$ sería inversamente proporcional a la masa del satélite, de manera que sería justamente lo contrario de lo que afirmé. Pero además, está claro que para que haya la transferencia de momento angular deben estar presentes fuerzas de marea (como ya se comentó anteriormente en este hilo) y está claro que en el caso de los satélites de pequeña masa su participación es absolutamente despreciable.

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Creo que podría ser, aunque no entiendo como calculas los momentos angulares de la tierra y el orbital. ¿Podías explicar de donde salen las fórmulas que aplicas? Parece que el de la tierra es $I\omega$ aunque no acabo de ver el de la luna, para mí debería ser $\approx mrv$ y no $\mu rv$. Ten en cuenta que el momento angular del movimiento orbital de la luna debe calcularse respecto al centro de la tierra y no respecto al CDG del sistema Tierra-Luna.

Salu2, Jabato.

[Breogan]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Hola:

Gracias carroza por confirmar lo que de cierta forma vengo diciendo en mis post anteriores, aunque no es estrictamente necesario considerar por separado ambos centros de gravedad.

Me voy a referir, de ahora en mas, solo al torque que ejerce la Luna sobre la Tierra, el de la Tierra sobre la Luna para mi todavía tiene sus bemoles.
En un giro completo de la Tierra el torque ejercido por esta va a cambiar de signo, debido a la distribución asimétrica de líquidos y sólidos sobre esta, esto es mucho mas facil de ver aproximadamente con un modelo sencillo de la Tierra con un solo continente y un solo Océano que den cuenta de las asimetrias.

De este modelo se puede observar que el torque promedio en una vuelta de la Tierra tendrá un valor distinto de cero, dependiendo de las velocidades angulares de la órbita de la Luna, de las de rotación de la Tierra, y el sentido de ambas.
Creo que de este modelo se puede extrapolar que la única órbita estable para la Luna sería una órbita geoestacionaria, donde el centro de gravedad del único Océano este sobre la linea imaginaria que une la Luna con el centro de su órbita.

Habría que hacer algún calculo aproximado, pero creo que con la disminución de la velocidad de rotación de la Tierra y el alejamiento de la Luna, todo el sistema Tierra-Luna tiende a un estado de estabilidad como el anterior descrito.

En cuanto a los cálculos echos por arivasm, aunque no los mire a fondo, pecan de considerar que la variación del radio de la órbita de la Luna es constante año tras año, y esto no se cumple. A medida que se aleja la Luna, por el aumento de la distancia disminuirán las fuerzas involucradas, y las mareas van a ser mas chicas, por lo cual la excentricidad del centro de masas de la Tierra también sera menor, la combinación de menores fuerzas y menor excentricidad van a hacer que la Luna se aleje cada vez menos año a año.

Tened en cuenta que mucho de lo dicho por mi son especulaciones y/o razonamientos en voz alta, y no conocimiento cabal del tema. por eso digo Creo!!

s.e.u.o.

Suerte

- - - Actualizado - - -

Hola:

Voy a agregar un pequeño análisis sobre la evolución del sistema Tierra_Luna.

Partiendo del momento angular del sistema, con todas las simplificaciones del caso:

$\dst L_T + L_l + L_L = cte.$

como $\dst L = I \omega$ queda:

$\dst I_T \ \omega_T + I_l \ \omega_l + I_L \ \omega_L = cte.$

$$\dst \frac 2 5 M_T R_T^2\ \omega_T + I_l \ \omega_l + m_L \ r_0^2 \ \omega_L = cte.$$

Para el movimiento de la Luna en su órbita se cumple que:

$\dst F_L = G \frac {M_T m_L}{r_0^2} = \mu \ r_0 \ \omega_L^2$

a partir de aquí, y porque creo que no modifica sustancialmente los cálculos y simplifica la escritura, aproximo $\mu \approx m_L$, entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst r_0^2 = \left( G \dst \frac {M_T}{\omega_L^2} \right)^{2/3}$

Reemplazzando en la (1):

$\dst \frac 2 5 M_T R_T^2\ \omega_T + I_l \ \omega_l + m_L \ \left( G \dst \frac {M_T}{\omega_L^2} \right)^{2/3} \ \omega_L = cte.$

$\dst \frac 2 5 M_T R_T^2\ \omega_T + I_l \ \omega_l + m_L \ \left( G {M_T} \right)^{2/3} \ \omega_L^{-1/3} = cte.$

si diferenciamos esta ultima con siderando que la rotación de la luna no se modifica, $I_l \ \omega_l = cte.$, como aproximación.

$\dst \frac 2 5 M_T R_T^2\ d \omega_T - \frac 1 3 m_L \ \left( G {M_T} \right)^{2/3} \ \omega_L^{-4/3} \ d \omega_L = 0$

despejando:

$\dst d \omega_T = \frac 5 2 \ \frac 1 3 m_L \ \frac 1 {M_T R_T^2} \left( G {M_T} \right)^{2/3} \ \omega_L^{-4/3} \ d \omega_L$


$\dst d \omega_T = \frac 5 6 \ \frac { m_L \left( G {M_T} \right)^{2/3}}{M_T R_T^2} \ \omega_L^{-4/3} \ d \omega_L$

$\dst d \omega_T = K_1 \ \omega_L^{-4/3} \ d \omega_L$

De acá se ve que como K1 es positiva y $\dst \omega_L$ también lo es, cuando la Tierra disminuye su velocidad angular la Luna también lo hace, y ademas si lo que antecede a $\dst d \omega_L$ es menor que 1 resulta que la Luna varia mas rápido su velocidad angular que la Tierra y con su mismo signo, por lo cual sería posible (si esto es así) es posible que la Luna tienda a establecer en el futuro una órbita geocincronica.

$\dst Como \ \omega_L < \omega_T \quad debe \ ser K_1 > 1 \quad \Rightarrow \quad d \omega_L < d \omega_T \quad \rightarrow \quad tiende \ a \ geoestacioneria$

s.e.u.o.

Suerte

[inakigarber]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Hola.

....Las mareas ocurren porque ni la tierra ni la luna son objetos esféricos sin estructura. Eso hace que la rotación de la tierra y la de la luna tiendan a frenarse hasta acompasarse con la rotación del sistema tierra-luna. Eso ocurrió con la luna hace miles de millones de años, y esta es la razón por la que la luna nos muestra la misma cara. En la tierra todavía la velocidad de rotación de la tierra (1 vuelta al día) es mayor que la velocidad de rotación de la luna en tono a la tierra (1 vuelta cada 28 días), pero cada día que pasa, por el efecto disipativo debido al movimiento de los mares (las mareas), la tierra se va frenando un poco.

Al frenarse la tierra, por efecto de las mareas, se disipa parte de la energía cinética de rotación, y disminuye el valor del momento angular de la tierra L_t. Pero como el momento angular total $L= L_t+L_l+L_r$
se tiene que conservar, y L_l tiene ya su valor mínimo, el momento angular relativo ha de aumentar, lo cual, conservando la energía cinética del movimiento relativo, hace que la distancia tierra luna aumente.

Un saludo

Perdón, me he perdido en lo de "son objetos esféricos sin estructura". ¿Qué significa eso?

[Weip]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Perdón, me he perdido en lo de "son objetos esféricos sin estructura". ¿Qué significa eso?

Que no tienen estructura interna, que no se pueden dividir. Como una partícula elemental. Es decir, carroza dice que todo eso pasa porque la Luna y la Tierra tienen constituyentes más pequeños que los conforman. Esto es importante para la conservación del momento si recuerdas.

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Pues lo siento carroza, pero no acabo de coger el punto de tus argumentos, ni siquiera con las ecuaciones que planteas. La traslación de la luna alrededor de la tierra debe ser sincrónica con la rotación propia de la luna, ya que la luna presenta siempre la misma cara hacia la tierra. Si admitimos que la rotación de la luna no varía entonces la rotación del sistema tierra luna tampoco puede hacerlo. Creo que no has entendido mis argumentos. Si admitimos que ambas rotaciones son iguales (la de la luna y la del sistema tierra-luna) entonces la única opción para que el momento angular total se mantenga es que la distancia tierra-luna aumente.

Saludos, Jabato.

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Ten en cuenta que el momento angular del movimiento orbital de la luna debe calcularse respecto al centro de la tierra y no respecto al CDG del sistema Tierra-Luna.

En primer lugar, el cálculo apenas cambia si se toma $\mu\approx m$, como ha hecho Breogán en su último post, pues entonces (7) sería

$\dst \dot\tau = \frac{5}{8\pi}\frac{m\tau^2}{R^2}\sqrt{G\frac{1}{Mr}}\ \dot r$

De todos modos, un sistema de referencia ligado al centro de la Tierra sería no inercial. Por ello encuentro más adecuado recurrir, a la hora de describir el momento angular del sistema al sistema de referencia ligado al centro de masas.

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

De acuerdo, arisvam, pero entonces el momento de rotación de la tierra debe calcularse respecto de este punto y ademas el radio de giro de la luna no es el radio orbital de la luna sino algo menor.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Ciertamente aunque llamé a $r$ "radio orbital de la Luna", a secas, debí haberle llamado "distancia Tierra-Luna" o "radio orbital de la Luna respecto del centro de la Tierra". El resto es aplicación del problema de dos cuerpos. Quizá también debí ser más preciso a la hora de justificar el segundo sumando de (5): como la velocidad angular orbital es $\dst \omega = \sqrt{G\frac{M+m}{r^3}}$, el momento angular orbital será $\mu r^2 \omega = \mu\sqrt{G(M+m)r}$

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Pero es que creo que no me has entendido, arisvam, si calculas el momento angular del sistema tierra luna respecto de su CDG, entonces el momento angular de la rotación de la tierra deberías calcularlo respecto del mismo punto, pero no lo haces así, calculas este último respecto del centro de la tierra, y eso no me cuadra porque calculado de esa forma su suma no tiene porqué ser constante y por lo tanto las variaciones de uno y otro no tienen porqué compensarse. (!) Creo que es mejor calcular ambos momentos respecto del centro de la tierra, ya que respecto a este punto la tierra no se traslada, solo rota, y para la luna solo debemos calcular el momento de su traslación respecto al mismo punto, que es sencillo de calcular.

1º).- Para el movimiento de rotación de la tierra su momento vale [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
2º).- Para el movimiento de traslación de la luna, dado el pequeño tamaño de la luna, puede estimarse en $mr^2\omega_L$

Fórmulas en las que todos los datos son conocidos. Sumando ambos, derivando e igualando a 0 deberíamos llegar a un resultado bastante aproximado, si no me falla la hipótesis. Pero al derivar debemos considerar que $\omega_L$ es constante y que lo que varía son las variables $\tau_t,\ r$, conforme a la hipótesis planteada:

$2\pi I_t/\tau_t +mr^2\omega_L=Cte$

$d\tau_t =\displaystyle\frac{mr\omega_L\tau_t^2}{\pi I_t}dr=\displaystyle\frac{5mr\tau_t^2}{\tau_LMR^2}dr=kdr$

Según esto la variación de la duración del día solar a lo largo de un año, $\tau_t$, expresada en segundos, se obtendría al considerar que la variación de $r$ es de 0,038 metros. Faltaría solo calcular el valor de la constante $k$.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Masa lunar, $m=7,3\cdot 10^{22}\ kg$
Radio orbital lunar, $r=3,8\cdot 10^{8}\ m$
Periodo orbital lunar, $\tau_L=2,4\cdot 10^{6}\ seg$
Masa terrestre, $M=6\cdot 10^{24}\ kg$
Radio terrestre, $R=6,4\cdot 10^{6}\ m$
Periodo de rotación terrestre, $\tau_t=8,6\cdot 10^{4}\ seg$

La constante $k$, habida cuenta de los valores anteriores, adopta el valor

$k=1,74\cdot 10^{-3}\ seg/m$

que nos dice que para un alejamiento de la luna de 0,038 metros, equivalente a un año, el incremento del periodo de rotación de la tierra sería de 0,06612 mseg. Extrapolando dicho valor resultaría un periodo de unos 15.124 años para producirse un incremento del periodo de rotación de la tierra de 1 segundo. Dato que coincide algo más con las observaciones experimentales, aunque todavía no parece suficiente.

Existe además una circunstancia que aleja aún más este modelo de los resultados experimentales, y es que se ha supuesto que la tierra es una esfera homogénea, lo que es claramente falso, la tierra es mucho más densa en su interior que en sus capas exteriores, lo que causa que su momento de inercia calculado sea mucho mayor que el real, provocando que los incrementos calculados del periodo de rotación sean menores que los que deberían ser. Así que el modelo planteado aquí parece que no es válido, aunque no alcanzo a ver por donde falla. Las dos hipótesis principales utilizadas en el modelo son la invarianza del momento angular total del sistema tierra-luna y la invarianza de la velocidad de rotación de la luna alrededor de su eje:

$L_S=L_t+L_l+L_L=Cte\qquad\qquad\qquad L_l=Cte$

Ambas hipótesis parecen acertadas, así que debe haber algún fenómeno que no hemos tenido en cuenta o algún error en los cálculos, pero no alcanzo a verlo.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Como te dije antes, la discrepancia no puede estar en que se tome el cdm o el centro de la Tierra. Está en que tomas la velocidad angular orbital de la Luna como constante. En la segunda expresión que pones en tu mensaje anterior falta tomar en consideración que (prescindo del cdm) $\dst \omega_L = \sqrt{G\frac{M}{r^3}}$, de manera que dicha expresión debe ser $2\pi I_t/\tau_t +m\sqrt{GMr}=Cte$

[carroza]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Pues lo siento carroza, pero no acabo de coger el punto de tus argumentos, ni siquiera con las ecuaciones que planteas. La traslación de la luna alrededor de la tierra debe ser sincrónica con la rotación propia de la luna, ya que la luna presenta siempre la misma cara hacia la tierra. Si admitimos que la rotación de la luna no varía entonces la rotación del sistema tierra luna tampoco puede hacerlo. Creo que no has entendido mis argumentos. Si admitimos que ambas rotaciones son iguales (la de la luna y la del sistema tierra-luna) entonces la única opción para que el momento angular total se mantenga es que la distancia tierra-luna aumente.

Hola. En las etapas de formación de la tierra y la luna, la rotación intrínseca de los fragmentos planetarios de lo que ahora llamamos luna no estaban acompasados con la rotación relativa del sistema tierra-luna. Tras mucho tiempo de interacciones de mareas y de fuerzas disipativas, la rotación de la luna se acompasó con la rotación relativa tierra-luna, y la luna se compactó con su forma y rotación actuales. La tierra es más grande, con más momento angular intrínseco, y no dió tiempo a que fuerzas de mareas más fuerzas disipativas frenaran su rotación, hasta acompasarlos con la rotación tierra-luna. Pero eso ocurrirá en el futuro.

Estoy de acuerdo con breogan en que la situación estable ocurrirá cuando la tierra se frene, y muestre siempre la misma cara a la luna, lo mismo que la luna ya muestra la misma cara a la tierra. En este caso, el océano tendrá una forma de elipsoide cuyo eje apuntará siempre en la diracción tierra luna, con lo que no habrá mareas.

Por supuesto, esta imagen del futuro es válida solamente si ignoramos el efecto de la atracción del sol. El sistema de tres cuerpos (tierra, sol y luna), incluso sin rotación interna ni mareas, es caótico, por lo que no podemos predecir si, al final, la luna será expulsada de la órbita de la tierra y pasará a ser un planeta más del sistema solar.

Un saludo