¿Qué es un diferencial?

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Escobedo, los números infinitesimales no existen en el campo de los reales, lo único que dijo Euler es que un número real positivo tan pequeño como queramos es 0, pero los diferenciales no son números infinitesimales, son números reales finitos, tan reales y finitos como puedan serlo los valores que toman las variables $x$ e $y$ Deberías molestarte en leer algo de lo que hemos escrito y tratar de entenderlo porque si no cambias tu punto de vista no vas a entender nada de lo que se escriba en el hilo.

Salu2, Jabato.

Primero se tiene que definir lo que es un numero real, para que puedas esgrimir tu argumento. Coge cualquier libro de calculo o analisis matematico y busca la definicion de numero real. Te daras cuenta de que unos a otros se hechan la bolita siendo esto problematico y dificil. No creo que esto sea factible poder explicarselo a la gente. Ademas, es ahi donde se empieza a contruir lo algunos llaman lo riguroso de las matematicas, en el cimiento del edificio matematico esta el problema, y si no hay buenas bases, imaginate lo que se construye (castillos en el aire).
Lo que mas se acerca a su definicion son las cortaduras de Dedekind, pero esas trabajan solo para definir los radicales, y para numeros como $\pi$ o $e$ no sirven (en los pocos libros que lo tratan usualmente aparece la explicacion de $\dst\sqrt{2}$) porque no intentan con las cortaduras de Dedekind con $\pi$. Otra, alternativa son las sucesiones de Cauchy, pero como son procesos infinitos estos pierden su validez, imaginate ir hasta el infinito para revisar que cierto numero es unico.
En cuanto a que deveria molestarme en leer algo, si que lo hago, pero voy uno a uno para tratar de esclarecer lo que se dice. Ademas, no estoy aqui para convencerte, yo opino al igual que todos, o A caso no es esto un foro en el se exponen las ideas?
Por otro lado, a mi si me convence un argumento claro y bien estructurado sin rayar en lo que algunos matematicos (NO TODOS) llaman "riguroso (dificil)" para esconder los verdaderos problemas en las mates.
Tambien aprecio lo que en este foro hacen muchos para esclarecer las dudas de los demas, pero no esta de mas cuestionar lo que es de origen dudoso.

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, Escobedo, tu mismo, yo hice lo que pude para ayudarte a entender el hilo, pero ya veo que si vamos a tener que empezar a revisar toda la matemática empezando por las TC, las definiciones axiomáticas de los números y a repasar toda la historia de las matemáticas para poder convencerte de que estás en un error al respecto de los conceptos de infinitésimo y de diferencial prefiero dejar que seas tu mismo el que llegues a tus propias conclusiones, no intentaré convencerte ni tampoco rebatir tus argumentos, eres muy dueño de pensar lo que quieras pero quiero dejar constancia de que estás en un grave error si piensas que los diferenciales toman valores infinitesimales o iguales a 0 o no se bien qué.

Salu2, Jabato.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, a ver si entiendo ahora porque estoy un poco confuso, el diferencial es por definición la aplicación lineal que se aproxima más a la variación de una función, es decir como dijo alex Δf = f'Δχ + Σ(lo que queda del desarrollo de taylor). Entonces sólo por definición Δf= df + α(Δχ)(le llamo ahora α en función de Δχ al resto para abreviar), siendo df la aplicación lineal que aproxima una Δf. Entonces por tal motivo por la definición de diferencial Δf=dfΔχ, y si quisiéramos hallar el diferencial de x ( o su aproximación lineal), al ser x una variable independiemte su variación coincide con su propia aproximación lineal, es decir x'=1, y por tanto dx=∆x, y en su consecuencia:

∆f=f'∆x=f'dx.

Quisiera saber si estoy en lo correcto.
Muchas gracias

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Sí, exactamente, eso es lo que hemos concluido en el debate a lo largo del hilo. Yo no estaba de acuerdo con el hecho de que $\Delta x=dx$ ya que entendía que ambas variables toman valores independientes, pero al final me demostraron que dicha igualdad puede deducirse rigurosamente de la definición de función diferenciable. Para evitar confusiones yo propongo utilizar la letra $h$ para denominar a esa variable, así queda perfectamente claro de lo que se esta hablando:

$h=\Delta x=dx$

A través del valor de $h$ puede establecerse una correspondencia entre los valores de $\Delta y$ y $dy$:

$h\qquad\to\qquad \Delta y=y(x+h)-y(x)\qquad\qquad dy=y'(x)h$

y por ejemplo a partir de aquí puede demostrarse fácilmente que:

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\Delta y}{dy}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{y'(x)h}=\displaystyle\frac{1}{y'(x)}\lim_{h \to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{y'(x)}{y'(x)}=1$

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

y en su consecuencia:

∆f=f'∆x=f'dx.

No, $df=f'\Delta x=f'dx$. Lo de la izquierda es un diferencial, no un incremento.

$\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x= dx =0$

La cosa está en que eso es incorrecto. En todo caso $dx=\Delta x$, que es muy diferente a lo que estás afirmando.

Primero se tiene que definir lo que es un numero real, para que puedas esgrimir tu argumento. Coge cualquier libro de calculo o analisis matematico y busca la definicion de numero real. Te daras cuenta de que unos a otros se hechan la bolita siendo esto problematico y dificil. No creo que esto sea factible poder explicarselo a la gente. Ademas, es ahi donde se empieza a contruir lo algunos llaman lo riguroso de las matematicas, en el cimiento del edificio matematico esta el problema, y si no hay buenas bases, imaginate lo que se construye (castillos en el aire).

Un número real es un elemento de $\mathbb{R}$. El concepto está bien definido porque $\mathbb{R}$ es no vacío. Respecto a la construcción de los reales la verdad es que no voy a entrar, es un follón y no va con el tema del hilo.

Se me ocurre ahora una pregunta, ¿podemos hacer una deducción similar para demostrar la expresión clásica del diferencial de una función real de varias variables reales partiendo a su vez de la definición de función diferenciable? Se trataría de demostrar rigurosamente que:

$F=F(x,y,z,...)\qquad\to\qquad dF=F_xdx+F_ydy+F_zdz+...$

Retomo esta cuestión, a ver que no me olvide de nada. Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ con la topología usual y sea $F:U\to \mathbb{R}$ una función diferenciable en $u \in U$. Denotaré por $D_v F(u)$ la derivada direccional de $F$ en $u$ respecto de $v=(x_1,...,x_n)$ (las componentes de $v$ acabarán siendo los típicos $x$, $y$, $z$,...). Hay un resultado que afirma: $dF_u(v)=D_v F(u)=\left< \nabla F(u), v\right>$ (de aquí se obtiene que la matriz jacobiana es la matriz asociada al diferencial). Desarrollando el producto escalar llegamos a $dF_u(v)=\dst\frac{\partial F}{\partial x_1}(u)x_1+\dst\frac{\partial F}{\partial x_2}(u)x_2+...+\dst\frac{\partial F}{\partial x_n}(u)x_n$. Ahora, las funciones $f_i(x_i)=x_i$, $i=1,2,...,n$, son de una sola variable. Aplicando lo que ya hemos hablado estos días de que $dx=x$, obtenemos $df_i(x_i)=dx_i=x_i$ para cada $i$. Al final obtenemos $dF_u(v)=\dst\frac{\partial F}{\partial x_1}(u)dx_1+\dst\frac{\partial F}{\partial x_2}(u)dx_2+...+\dst\frac{\partial F}{\partial x_n}(u)dx_n$.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

1).- ¡ups! No vi el incremento que aparecía en el primer término en lugar del diferencial en la ecuación ∆f=f'∆x=f'dx. Tiene razón Weip, la ecuación correcta es df=f'∆x=f'dx. Usando la notación con $h$ la cosa es así:

$h=\Delta x=dx\qquad\qquad\Delta y=y(x+h)-y(x)\qquad\qquad dy=y'(x)h$

que son tres cosas distintas.

2).- Gracias Weip, no hacía falta la demostración de que puede hacerse, me bastaba con la confirmación.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, a ver si entiendo ahora porque estoy un poco confuso, el diferencial es por definición la aplicación lineal que se aproxima más a la variación de una función, es decir como dijo alex Δf = f'Δχ + Σ(lo que queda del desarrollo de taylor). Entonces sólo por definición Δf= df + α(Δχ)(le llamo ahora α en función de Δχ al resto para abreviar), siendo df la aplicación lineal que aproxima una Δf. Entonces por tal motivo por la definición de diferencial Δf=dfΔχ, y si quisiéramos hallar el diferencial de x ( o su aproximación lineal), al ser x una variable independiemte su variación coincide con su propia aproximación lineal, es decir x'=1, y por tanto dx=∆x, y en su consecuencia:

∆f=f'∆x=f'dx.

Quisiera saber si estoy en lo correcto.
Muchas gracias

Hola no sé, si escribí eso perdona, pero si he escrito algo parecido querría escribir:

$$\Delta f =f'(x) \Delta x + \lambda \approx f'(x) \Delta x= df$$

Sacando sólo el término de primer orden de $\Delta x$ en la aproximación.
Además, de la misma definición se obtiene $dx=x' \Delta x=\Delta x$. Al hacer la derivada de la función lineal que da 1 $(x)'=1$

La razón principal de definir el diferencial así, como una aproximación de primer orden, es que muchas veces interesa el límite ya sea porque interesa derivar, integrar, etc. entonces los términos de mayor orden en $\Delta x$ van a tender a 0 en el límite.

De hecho, en mi primer mensaje #86 me olvidé de la definición primera de diferencial, ya que lo que interesa (y tenía en mente cuando escribí tal mensaje) de la definición de diferencial es la utilidad teórica en el cálculo de derivadas e integrales.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Jabato y weip tenéis razón, yo también quise decir df en vez ∆f, pero independientemente de lo que por definición sea un diferencial se cumple la siguiente igualdad ?

lim(∆x->0)∆f=f'*lim(∆x->0)∆x

Siendo ambos miembros de la igualdad infinitesimos del mismo orden

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueo Jabato, perdoname pero como ha escrito Weip no es una demostración. La demostración debería partir del concepto de que el diferencial es una aproximación del primer orden de la variación (tal y como lo hemos definido) $\Delta f=f(x+\Delta x,y+\Delta y....)-f(x,y...)$.
Empezamos definiendo la derivada parcial como:

$$\frac{\partial f(x,y,z...)}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y,z...)-f(x,y,z....)}{\Delta x}$$

Tenemos entonces que:

$$f(x+\Delta x,y,z...)=f(x,y,z...)+\frac{\partial f(x,y,z...)}{\partial x}\Delta x + \lambda \approx f(x,y,z...)+\frac{\partial f(x,y,z...)}{\partial x}\Delta x$$

Despreciando los términos de mayor orden (representado por $\lambda$) en la expansión por serie de Taylor sobre $\Delta x$.
Ahora para el cálculo del incremento total, y aproximando, cogiendo sólo los primeros términos de la expansión, hacemos el proceso anterior variable por variable (voy paso por paso):

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y...) \approx f(x,y+\Delta y...)+\frac{\partial f(x,y+\Delta y...)}{\partial x}\Delta x$$

$$\approx f(x,y...)+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial }{\partial x}[f(x,y...)+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial y}\Delta y]\Delta x$$

$$= f(x,y...)+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 f(x,y...)}{\partial x \partial y} \Delta y\Delta x$$

$$\approx f(x,y...)+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial x} \Delta x$$

Repitiendo el proceso para todas las variables que tuviera y ya que $\Delta x=dx$, etc.:

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y...)-f(x,y...) \approx \frac{\partial f(x,y...)}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial x} \Delta x+.....=$$

$$=\frac{\partial f(x,y...)}{\partial y}d y+\frac{\partial f(x,y...)}{\partial x} d x +.....=df$$

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Yo entiendo que a partir de este resultado se puede definir gradiente y derivada direccional:

$$df=\vec \nabla f \cdot d \vec r$$

Pudiendo así fácilmente encontrar el gradiente a partir del diferencial de la función y el diferencial vector dirección. Y así definir derivada direccional también como el resultado anterior. (Ya que necesitas un punto sobre el que evaluar el gradiente y un vector, supongo que es por eso por lo que se llama así..)

[carroza]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola a todos. Una contribución, sin ánimo de desmerecer las interesantes contribuciones matemáticas al hilo.

En fisica, nos interesan magnitudes que tienen incertidumbres. No necesitamos decir que algo "es infinitamente pequeño", sino que nos basta algo "suficientemente pequeño, para poder detectarlo". No necesitamos decir que algo "es infinitamente grande", sino que nos basta algo "suficientemente grande, comparado con nuestras escalas".

Por tanto, si hablamos de diferencial en física, podemos decir que un diferencial de una variable, dx, es igual a un incremento de la variable, $\Delta x$, siempre que, para las funciones $y = f(x)$ en que estemos interesados, el incremento de la función $\Delta y = f(x + \Delta x)- f(x)$, sea proporcional, dentro del grado de precision que sea relevante para nuestro caso, al incremento de la variable $\Delta x$. Si este es el caso, podemos aproximar el incremento de la función $\Delta y = f(x + \Delta x)- f(x)$, por su diferencial $d y = f'(x) dx$.

Por ejemplo, si nos interesa describir un fenómeno en el que la función relevante es $y = x^2$, y la precisión relevante es $10^{-6}$, podremos sustituir los incrementos $\Delta x$ por diferenciales $d x$, siempre que $\Delta x < 10^{-6}$. La derivación es:

$\Delta y = (x+ \Delta x)^2 - x^2 = 2x \Delta x + (\Delta x)^2$

${\Delta y \over \Delta x}= 2x + \Delta x$

Por tanto, si $\Delta x$ es pequeño frente a la precision relevante ($10^{-6}$) , ${\Delta y \over \Delta x}$ es independiente de $\Delta x$, y viene dado por la derivada $f'(x) = 2x$.

Este argumento es muy importante en física computacional. Uno sustituye continuamente incrementos por diferenciales, para valores de los intervalos de variables (sea el tiempo, las coordenadas espaciales, campos, funciones de onda, etc) pequeños, pero nunca "infinitamente pequeños", y esto es válido si somos conscientes que vamos a alcanzar una precision determinada (nunca un valor "exacto").

Saludos

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Jabato y weip tenéis razón, yo también quise decir df en vez ∆f, pero independientemente de lo que por definición sea un diferencial se cumple la siguiente igualdad ?

lim(∆x->0)∆f=f'*lim(∆x->0)∆x

Siendo ambos miembros de la igualdad infinitesimos del mismo orden

No, no se cumple. El motivo es el siguiente. Ten en cuenta que $\dst\lim_{\Delta x \to 0}\dst\frac{\Delta f}{\Delta x}=f'(a)=\dst\frac{\dst\lim_{\Delta x \to 0}\Delta f}{\dst\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x}$ cuando $\dst\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \neq 0$, pero esto último no se cumple, ese límite siempre da cero. Y ya sabes que dividir entre cero no es una operación permitida (pasarlo al otro lado tampoco es solución).

Bueo Jabato, perdoname pero como ha escrito Weip no es una demostración.

A ver, una demostración es. Otra cosa es que parta de un resultado bien conocido por todos porque es el único paso que no me acuerdo de los detalles y me da palo mirarlo en los apuntes de cálculo. Pero bueno, que en lo siguiente tu das por supuesto el teorema de Taylor.

(tal y como lo hemos definido)

En una variable, pero no en varias. Deberías partir de la definición de diferenciabilidad si quieres hacer todo el camino. En todo caso no creo que saquemos nada de poner la demostración entera, es decir, ya estamos habituados a trabajar con estas cosas.

No necesitamos decir que algo "es infinitamente pequeño", sino que nos basta algo "suficientemente pequeño, para poder detectarlo". No necesitamos decir que algo "es infinitamente grande", sino que nos basta algo "suficientemente grande, comparado con nuestras escalas".

Hola carroza. Estoy de acuerdo con lo que dices pero hay una cosilla a comentar de lo citado. Entiendo que a la práctica nada es infinitamente grande ni pequeño, pero es usual en la parte teórica, como por ejemplo en la mecánica de Newton, razonar con infinitesimales para luego integrar y cosas del estilo.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola weip, estoy de acuerdo contigo en que a partir de allí no se pueda deducir la siguiente igualdad lim(∆x->0)∆f=f'*lim(∆x->0)∆x. Pero creo que aún así por ese echo no se podría descartar que se cumple dicha igualdad. (Es muy probable que esté equivocado, la verdad soy un novato en este tema)

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No, no se cumple. El motivo es el siguiente. Ten en cuenta que $\dst\lim_{\Delta x \to 0}\dst\frac{\Delta f}{\Delta x}=f'(a)=\dst\frac{\dst\lim_{\Delta x \to 0}\Delta f}{\dst\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x}$ cuando $\dst\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \neq 0$, pero esto último no se cumple, ese límite siempre da cero. Y ya sabes que dividir entre cero no es una operación permitida (pasarlo al otro lado tampoco es solución).

Sí se cumple, sólo para funciones derivables (y por tanto contínuas), pero evidentemente no se trata de hacer la división de límites y pasarlo multiplicando al otro miembro. Tienes una demostración en #95.

Sobre lo de la serie de Taylor, yo entiendo que se trata de desarrollarlo sobre una variable considerando las demás ctes. Eso es temario de una variable. Por ejemplo: $f(x,2,3)$ es una función de una variable x. Otra demostración es usar el teorema de Lagrange. Y por tanto no estaba partiendo de algo posterior para hallar un concepto anterior.

Comentar, que mi libro de cálculo aunque al principio define el diferencial como el término de primer orden del incremento de una función, a la hora de demostrar por ejemplo el diferencial en funciones de varias variables usa el concepto de límites ----->> diferenciales: lo que acababa de escribir danielandresbru.
No escribe esa igualdad exactamente, si no que dice que la relación: $\Delta f=f'(c)\Delta x \;\;\;\; c \in [a,x]$, en el límite: $df=f'(x)dx$

- - - Actualizado - - -

Corrijo, será una mala lectura mía: en realidad escribía: $\lim_{\Delta x \to 0} f'(c)=f'(x) \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; f'(c)=f'(x)+\lambda \;\;\;\; \lim_{\Delta x \to 0}\lambda=0$, por tanto: $\Delta f=f'(x) \Delta x + \lambda \Delta x$ donde el segundo término es de un orden superior y por tanto ppodemos llamar $\Delta f \approx df=f'(x) \Delta x$

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Jabato y weip tenéis razón, yo también quise decir df en vez ∆f, pero independientemente de lo que por definición sea un diferencial se cumple la siguiente igualdad ?

lim(∆x->0)∆f=f'*lim(∆x->0)∆x

Siendo ambos miembros de la igualdad infinitesimos del mismo orden

Sí se cumple, sólo para funciones derivables (y por tanto contínuas), pero evidentemente no se trata de hacer la división de límites y pasarlo multiplicando al otro miembro. Tienes una demostración en #95.

¡Ahora os he entendido! Toda la razón tenéis, la igualdad se cumple (los dos límites dan cero). No sé porqué me pensaba que lo que hacíais era pasar multiplicando el límite, pero eso vosotros no lo habéis dicho nunca. Cierto sí sí.

Sobre lo de la serie de Taylor, yo entiendo que se trata de desarrollarlo sobre una variable considerando las demás ctes. Eso es temario de una variable. Por ejemplo: $f(x,2,3)$ es una función de una variable x. Otra demostración es usar el teorema de Lagrange. Y por tanto no estaba partiendo de algo posterior para hallar un concepto anterior.

Vale. Con esto que me has dicho he entendido el desarrollo pero la verdad es que tengo muchas objeciones a nivel tanto de forma como de contenido, pero mejor dejo de ser titismiquis. La idea creo que es correcta y con los detalles se llega a buen puerto.

Comentar, que mi libro de cálculo aunque al principio define el diferencial como el término de primer orden del incremento de una función, a la hora de demostrar por ejemplo el diferencial en funciones de varias variables usa el concepto de límites ----->> diferenciales: lo que acababa de escribir danielandresbru.
No escribe esa igualdad exactamente, si no que dice que la relación: $\Delta f=f'(c)\Delta x \;\;\;\; c \in [a,x]$, en el límite: $df=f'(x)dx$

Eso me huele mal. Al pasar el límite queda siempre $0=0$. Otra cosa es decir que en un entorno suficientemente pequeño $\Delta f \approx df$.

A todo esto, Jabato, ¿quieres que recuperemos aquello de las formas diferenciales que proponías páginas atrás?

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Eso me huele mal. Al pasar el límite queda siempre $0=0$. Otra cosa es decir que en un entorno suficientemente pequeño $\Delta f \approx df$.

A todo esto, Jabato, ¿quieres que recuperemos aquello de las formas diferenciales que proponías páginas atrás?

Como ya dije estaba equivocado, escribí después diciendo que lo recordaba mal, y en realidad en el libro venía lo otro que escribí.

Aunque no lo quiera Jabato xP (que sé que sí), yo sí lo querría que lo retomases. Sé que está relacionado con el producto interior, exterior y dual de hoge (creo que se escribe así). Quiero decir, la 1-forma.

$$f_1(x,y)dx^1+f_2(x,y)dx^2+...=\sum_i f_i(x_j)dx^i$$

La 2-forma sin embargo:

$$f_1(x,y,z)dx^2dx^3+f_2(x,y,z)dx^3dx^1+f_3(x,y,z)dx^1dx^2.=\sum_i f_i(x_j)dS^i$$

Dónde $dS^i=\sum_{jk} \epsilon^i_{jk}dx^jdx^k$. Sin embargo esto es el dual de hoge de $dS^{ij}=dx^i \wedge dx^j=dx^i dx^j-dx^j dx^i$, no¿?

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Y ya el volumen es el dual de hoge (que ya no sé calcularlo) de $dV^{ijk}=dx^i \wedge dx^j \wedge dx^k$