¿Qué es un diferencial?

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos a ver, ya parece que empieza a estar claro que es el diferencial de una función y como se relaciona con su incremento, al menos yo ya lo tengo bastante claro e incluso he corregido algunos errores conceptuales que tenía. Si después de lo que llevamos de hilo alguien me dice que esto se explica bien en las aulas que venga Dios y lo vea.

Bueno, yo tenía idea de hablar de los elementos diferenciales, que es lo que me pide ahora Weip. Debo hacer una corrección a lo que él me pide. En física se suele utilizar un concepto que los matemáticos no reconocen, es el concepto de elemento diferencial. Una cosa es el diferencial de una función, otra cosa son las formas diferenciales y otra muy distinta son los elementos diferenciales. Las dos primeras son matemáticamente impólutas, ortodoxas, bien definidas y aparte de los errores que todos tenemos (o hemos tenido) al respecto de lo que son podemos aceptar que son conceptos rigurosos y que se suelen aplicar correctamente.

Los elementos diferenciales son entes muy diferentes, no son ortodoxos, tienen unas propiedades que sorprenden al más pintao y que se deducen muchas veces de suponer que su tamaño es infinitamente pequeño, cuando sin embargo se les asigna propiedades como longitud, superficie o volumen. Dado que estos elementos se suelen utilizar habitualmente en física, resulta que los libros de esta disciplina están plagados de cosas que los matemáticos no reconocen o que si lo hacen lo hacen con muchos reparos, aunque es curioso que como el uso de estos elementos conduce a resultados correctos con una sencillez admirable y que suponen demostraciones muy intuitivas y mucho menos farragosas que los métodos ortodoxos pues resulta que estos métodos se siguen aplicando en las aulas de física. Como aperitivo os pongo un enlace aquí que os lleva a las definiciones que suelen hacerse de estos elementos, si revisáis su contenido con animo de buscar el suficiente rigor en ellos os daréis cuenta que solo tienen sentido al ser utilizados en tres sistemas de coordenadas ortogonales y no siempre, depende del uso que se les de. Estos elementos están definidos solo para estos tres sistemas, cartesianas, cilíndricas y esféricas, pero la idea de elemento diferencial es mucho más amplia, y debería tener una definición más general habida cuenta del uso que de ellos se hace. Mi idea es plantear las bases que permitan definir rigurosamente los elementos diferenciales dotándolos así del suficiente contenido teórico para dejar zanjadas todas las discusiones, si es que puede hacerse que creo que si. Luego os pongo algún ejemplo de su uso para que veáis el porqué de las objeciones que hay contra estos elementos.

Salu2, Jabato.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Weip de que ambos limites eran iguales eran iguales, al ser el límite cero pero mi duda era si eran del mismo orden, por que para eso puedo hacer la siguiente igualdad lim(∆x->0)∆f=lim(∆x->0)(∆x)^k

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, Escobedo, tu mismo, yo hice lo que pude para ayudarte a entender el hilo, pero ya veo que si vamos a tener que empezar a revisar toda la matemática empezando por las TC, las definiciones axiomáticas de los números y a repasar toda la historia de las matemáticas para poder convencerte de que estás en un error al respecto de los conceptos de infinitésimo y de diferencial prefiero dejar que seas tu mismo el que llegues a tus propias conclusiones, no intentaré convencerte ni tampoco rebatir tus argumentos, eres muy dueño de pensar lo que quieras pero quiero dejar constancia de que estás en un grave error si piensas que los diferenciales toman valores infinitesimales o iguales a 0 o no se bien qué.

Salu2, Jabato.

Me has ayudado a entender que en la actualidad el diferencial es la aproximacion lineal de una funcion y antes llamaba un infinitesimo. Por favor!

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos con una pregunta tonta, como aperitivo. A ver ¿cual es la diferencia entre los valores que adoptan estas dos expresiones?

$\displaystyle\int_a^b dy=y(b)-y(a)\qquad\qquad\displaystyle\int_a^b\Delta y=\ ?$

aunque claro, no es difícil adivinarlo, pero el quid de la cuestión es saber porqué ocurre.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Weip de que ambos limites eran iguales eran iguales, al ser el límite cero pero mi duda era si eran del mismo orden, por que para eso puedo hacer la siguiente igualdad lim(∆x->0)∆f=lim(∆x->0)(∆x)^k

La verdad es que no acabo de entender tu pregunta. ¿A qué te refieres con orden? Hay varias interpretaciones posibles. Además ¿del mismo orden qué funciones? La igualdad que has puesto será correcta o no dependiendo del valor de $k$. Si es positivo, la igualdad es cierta.

Debo hacer una corrección a lo que él me pide.

Quería decir elementos pero escribí formas. A últimas horas de la tarde ya no estoy para pensar.

Vamos con una pregunta tonta, como aperitivo. A ver ¿cual es la diferencia entre los valores que adoptan estas dos expresiones?

$\displaystyle\int_a^b dy=y(b)-y(a)\qquad\qquad\displaystyle\int_a^b\Delta y=\ ?$

aunque claro, no es difícil adivinarlo, pero el quid de la cuestión es saber porqué ocurre.

Interpreto que te refieres a la integral de Riemann. Entonces la primera expresión es una forma de expresar el teorema fundamental del cálculo donde $\dst\int_a^b dy$ es una notación para la integral de la derivada.

En la segunda expresión según las costumbres del cálculo integral se entiende que el diferencial lo has quitado porque era redundante.

Esto es lo que veo a primera vista. Dependiendo de la información que falta sobre las funciones involucradas y del contexto hay otras interpretaciones posibles que no necesariamente coinciden con las que he dado. Y supongo que la pregunta está hecha para hablar de estas otras interpretaciones.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Weip de que ambos limites eran iguales eran iguales, al ser el límite cero pero mi duda era si eran del mismo orden, por que para eso puedo hacer la siguiente igualdad lim(∆x->0)∆f=lim(∆x->0)(∆x)^k

Perdona quizá mis intervenciones te han despistado mucho. Recupero la idea de diferencial:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

$$f'(x)+\alpha=\frac{\Delta f}{\Delta x} \;\;\;\; \lim_{\Delta x \to 0} \alpha=0$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Weip te lo puede explicar con un lenguaje más correcto, lo que voy a intentar explicar a medias. El producto es un infinitesimal de mayor orden que el diferencial, ya que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha \Delta x}{\Delta x}=0$ y $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{df}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x) \Delta x}{\Delta x}=f'(x)$, pero $\Delta f$ es del mismo orden que $df$ ya que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=f'(x)$ u otra manera más correcta de verlo $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{df}$.

La definición, si lo preguntas supongo que sabrás que:
$\alpha(x)$ es un infinitésimo de menor orden que $\beta(x)$ si:

$$\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$$

Justo al revés, $\alpha$ de mayor orden:

$$\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\pm \infty$$

Y del mismo orden si:

$$\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=L$$

Dónde $L \in R$ y $L\neq 0$.
Pudiendo ser también $a=\pm \infty$

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, quisera hacer una última preguta respecto a este tema, si es falso que lim(∆x->0)∆f=f'*lim(∆x->0)∆x , entonces también son falsas todas las deostraciones que se hacen del cálculo del campo eléctrico crado por un cuerpo continuo cargado, o el del campo magnético creado por una corriente eléctrica, o también el momento de inercía de un sólido rigido?

Para todas estas he visto com se usa incrementos infinitamente pequeños para calcular una propiedad de un cuerpo continuo entero, porque si entonces me estais diciendo que no puedo tomar incrementos infinitamente pequeños para luego sumarlos, entonces todo esto que he visto ha sido una mentira?

- - - Actualizado - - -

La verdad es que no acabo de entender tu pregunta. ¿A qué te refieres con orden? Hay varias interpretaciones posibles. Además ¿del mismo orden qué funciones? La igualdad que has puesto será correcta o no dependiendo del valor de $k$. Si es positivo, la igualdad es cierta.

Weip a lo que me refiero es que no puedes estar haciendo por ejemplo esto lim(∆x->0)∆f=lim(∆x->0)sen(∆x)

Y que como se cumplen ambos miembros de la igualdad decir que una variacion de cualquier función infinitamente pequña es tan pequeño como el entorno cerca del 0 del seno.

Para explicarme mejor es la misma razón por la que no puedes decir lim(x->0)x=lim(x->0)x^2. Ambos son cero, pero no se aproximan de igual forma.
Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, lo que trato de expresar es que ambas expresiones son efectivamente iguales:

$\displaystyle\int_a^b dy=\displaystyle\int_a^b\Delta y=y(b)-y(a)$

pero a donde me interesa llegar es al porqué son iguales. La razón última estriba en la consideración de que ambas expresiones son infinitésimos equivalentes:

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\Delta y}{dy}=1$

y entonces llegamos a la pregunta central de todo lo que quiero exponer. ¿Siempre que substituimos en una suma infinita un infinitésimo por otro equivalente la suma resulta invariante? La respuesta es sí, pero ahora veremos como se puede plantear este problema de una forma más general y como se resuelve.

Veamos, supongamos que disponemos de una colección numerable de funciones $y_i(x)$ que satisfacen la siguiente condición:

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}xy_i(x)=k_i\qquad\qquad k_i=Cte$

que claramente son infinitésimos al crecer $x$, y tratemos ahora de obtener la siguiente suma:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sum_{i = 1}^n y_i(n)$

que es una suma con $n$ sumandos cada uno de los cuales tiende a 0 al crecer $n$. En esencia esta suma incluye el concepto de integral puesto que una integral no es más que una suma numerable de infinitos infinitésimos, aunque el problema planteado aquí es más general, está enfocado desde un punto de vista más general. Y lo que busco es demostrar que si substituyo un número finito o infinito de infinitésimos por otros que sean sus equivalentes el valor de la suma total no varía. Es ahí donde esta el quid de la cuestión. Ahora debo dejarlo un rato, luego continuo.

Continuará, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, quisera hacer una última preguta respecto a este tema, si es falso que lim(∆x->0)∆f=f'*lim(∆x->0)∆x , entonces también son falsas todas las deostraciones que se hacen del cálculo del campo eléctrico crado por un cuerpo continuo cargado, o el del campo magnético creado por una corriente eléctrica, o también el momento de inercía de un sólido rigido?

Para todas estas he visto com se usa incrementos infinitamente pequeños para calcular una propiedad de un cuerpo continuo entero, porque si entonces me estais diciendo que no puedo tomar incrementos infinitamente pequeños para luego sumarlos, entonces todo esto que he visto ha sido una mentira?

Respecto a tu pregunta, pues sí, es una mentira, pero con muchos matices. Matemáticamente esas demostraciones son falsas pero en física se usan porque suponen un atajo muy útil y tienen una interpretación muy concreta. Si nos perdiéramos con las sutilezas matemáticas algunas de esas demostraciones se complicarían y enmascararían la interpretación física de las ecuaciones. También hay un motivo histórico. En los inicios del cálculo las matemáticas no eran rigurosas. Newton, Leibniz y otros contemporáneos hacían las demostraciones "de aquella manera". Ellos eran conscientes de que los infinitesimales tenían cosas raras y se podían usar para demostrar falsedades, pero en muchos otros casos funcionaban. No fue hasta muchos años después que se definió el concepto de función y matemáticos como Cauchy se pusieron a darle unas bases sólidas al cálculo. Aún así estas técnicas seguían siendo usadas en física por lo que he explicado antes y se han quedado hasta la actualidad.

Aún así no son mentiras bien bien porque siempre se puede escribir todo con el debido detalle y se llega a los mismos resultados que con los infinitesimales. Si buscas libros de mecánica, electromagnetismo, termodinámica... para graduados, todo está justificado con el debido rigor matemático (el rigor físico se entiende que está desde niveles inferiores). Pero claro, empezar estas ramas de la física por esos libros es empezar la casa por el tejado.

Lo otro ya lo ha explicado bien alexpglez así que no digo nada.

Sobre lo que has puesto Jabato me espero a que acabes del todo.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Weip, entonces preguntó si con la suficiente rigurosidad de lo que es un diferencial se llega a los mismo resultados (con respecto al momento de inercia de un sólido rígido por ejemplo) que tomando los diferenciales como incrementos infinitamente prqueños. No crees que tal vez (solo tal vez) un diferencial también se pueda interpretar como una variación infinitamente pequeña? (Lo único es que hasta la fecha no se ha podido demostrar tal afirmación con el rigor matemático suficiente)

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Respecto a tu pregunta, pues sí, es una mentira, pero con muchos matices. Matemáticamente esas demostraciones son falsas pero en física se usan porque suponen un atajo muy útil y tienen una interpretación muy concreta. Si nos perdiéramos con las sutilezas matemáticas algunas de esas demostraciones se complicarían y enmascararían la interpretación física de las ecuaciones. También hay un motivo histórico. En los inicios del cálculo las matemáticas no eran rigurosas. Newton, Leibniz y otros contemporáneos hacían las demostraciones "de aquella manera". Ellos eran conscientes de que los infinitesimales tenían cosas raras y se podían usar para demostrar falsedades, pero en muchos otros casos funcionaban. No fue hasta muchos años después que se definió el concepto de función y matemáticos como Cauchy se pusieron a darle unas bases sólidas al cálculo. Aún así estas técnicas seguían siendo usadas en física por lo que he explicado antes y se han quedado hasta la actualidad.

Aún así no son mentiras bien bien porque siempre se puede escribir todo con el debido detalle y se llega a los mismos resultados que con los infinitesimales. Si buscas libros de mecánica, electromagnetismo, termodinámica... para graduados, todo está justificado con el debido rigor matemático (el rigor físico se entiende que está desde niveles inferiores). Pero claro, empezar estas ramas de la física por esos libros es empezar la casa por el tejado.

Lo otro ya lo ha explicado bien alexpglez así que no digo nada.

Sobre lo que has puesto Jabato me espero a que acabes del todo.

Se me olvidó definir infinitésimo: $\lim_{x \to a} \alpha(x)=0$ jiji

Y bueno hay que matizar, los profesores suelen explicar conceptos como el de integral:

$$dx=v dt$$

En un infinitesimo de tiempo o instante, el móvil recorre un infínitesimo de distancia. Sumando todo:

$$\int_{x_a}^{x_b}dx=x_b-x_a=\int_{t_a}^{t_b}v dt$$

Nos da que la distancia (posición final - inicial) se calcula evaluando esta integral.
Este argumento es totalmente falso.

El argumento correcto sería el siguiente:
Un desplazamiento se define como:

$$\Delta x=v^* \Delta t$$

Donde simbolizo $v^*$ como velocidad media en ese intervalo.
Pero podemos hacer la división del desplazamiento en n intervalos por lo tanto:

$$\Delta x=\sum_n \Delta x_n=\sum_n v^*_n \Delta t_n$$

Ahora haciendo el límite a infinitos trozos (recordando, por si acaso, para notar que el límite no tiene por qué diverger, que $\Delta t=t_b-t_a$, entonces $\lim_{n \to \infty} \Delta t_n =0$):

$$\Delta x=\lim_{n \to \infty} \sum_n v^*_n \Delta t_n=\int_{t_a}^{t_b} v(t) dt$$

Pero el límite de la suma no es si no la integral.

Querría preguntarte Weip, esto demuestra el teorema fundamental del cálculo, quiero decir:

$$f'(x)= \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Por el teorema de Lagrange, deducido de aquí para funciones derivables y contínuas.

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \;\;\;\; c \in [a,b]$$

Escrito con notación de incrementos:

$$\Delta f=f'(x^*) \Delta x \;\;\; x^* \in [x,x+\Delta x]$$

Pero ahora dividiendo en n intervalos, sumando todos y tomando el límite y definiendo la integral:

$$\Delta f=\lim_{n \to \infty} \sum_n f'(x^*_n) \Delta x_n=\int_{a}^{b}f'(x)dx$$

$$\sum_n \Delta x_n=\Delta x=b-a \;\;\;\; x^*_n \in [x+\Delta x_{n-1},x+\Delta x_n]$$

Con lo cuál:

$$f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx$$

Lo cuál demuestra el teorema fundamental del cálculo.

Pero esto es correcto, me he equivocado en algo¿? No la he encontrado en ningún libro de cálculo... Se me ha ocurrido al hacer la explicación anterior.

- - - Actualizado - - -

Weip, entonces preguntó si con la suficiente rigurosidad de lo que es un diferencial se llega a los mismo resultados (con respecto al momento de inercia de un sólido rígido por ejemplo) que tomando los diferenciales como incrementos infinitamente prqueños. No creéis que tal vez un diferencial también se pueda interpretar como una variación infinitamente pequeña?

Lo único es que hasta la fecha no se ha podido demostrar tal afirmación con el rigor suficiente

No, el diferencial es una función lineal, finita por tanto (aunque lo cierto es que hasta hace algunos días, no lo tenía tan claro, puedes ver mi primer mensaje en este hilo y verás). Como ya te expliqué, el concepto de diferencial es útil, porque en matemáticas y físicas nos interesa tomar el límite integrando o derivando y entonces los términos de mayor orden desaparecen.
Voy a dar un contraargumento a tu argumentación: los planetas del sistema solar parecen girar alrededor de la Tierra, por tanto, no podría ser que la Tierra ejerciese una fuerza hacia los demás planetas, siendo esta fuerza prácticamente radial, puesto que el aparente giro de los planetas alrededor de la Tierra es casi elíptico¿?

- - - Actualizado - - -

Voy a lanzar otra pregunta a Weip que creo que tiene que ver con lo que quiere preguntar Jabato. Deduzco que él quiere saber si la notación dx en la integral, es porque realmente dx es un diferencial, o por qué de esta notación. De hecho, ya que acordamos que: $\Delta x=dx$
Cabe preguntar si esto es lo mismo:

$$\int_a^b f(x) dx=\int_a^b f(x) \Delta x$$

Es decir, partiendo de lo anterior:

$$\Delta f=f'(x^*) \Delta x=f'(x) \Delta x + \alpha \Delta x \;\;\; \lim_{\Delta x \to 0} \alpha=0$$

Troceando, sumando y haciendo el límite de cada sumando:

$$\lim_{n \to \infty} \sum_n f'(x^*_n) \Delta x_n=\int_a^b f(x) dx$$

$$\lim_{n \to \infty} \sum_n f'(x_{n-1}) \Delta x_n=\lim_{n \to \infty} \sum_n df_n$$

$$\lim_{n \to \infty} \sum_n \alpha(x_{n-1}, \Delta x_n) \Delta x_n$$

¿Cuánto vale la segunda y la tercera suma?
Es decir comparar la segunda y primera suma, en donde la diferencia está tomar x_{n-1} o x^*_n este último cumpliendo que cumpla el pertinente teorema de lagrange...

- - - Actualizado - - -

Sobre elementos diferenciales, creo saber cómo se obtiene todos: Di cómo es el vector posición en función de las coordenadas que quieras y usando éstas formulas lo obtienes el elemento diferencial que quieras.
El elemento de línea es diferenciar simplemente:

$$d \vec r= \sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial x^i}dx^i$$

Si quieres definir un vector ortonormalizado:

$$\vec u_{x^i}=\frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert ^{-1}$$

Entonces (1) queda:

$$d \vec r= \sum_i \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert dx^i \vec u_{x^i}$$

Debería ser fácil pues deducir este elemento diferencial en cartesianas, esféricas y cilíndricas, o cualquiera. Esto marca el punto de partida para la geometría diferencial, https://en.wikipedia.org/wiki/Metric...r#Introduction.

Para el gradiente hay que recordar la definición:

$$dF(x^i)=\vec \nabla F \cdot d \vec r= \sum_i \frac{\partial F}{\partial x^i}dx^i$$

De esto con (1):

$$\vec \nabla F=\sum_i \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert ^{-1} \vec u_{x^i} \frac{\partial F}{\partial x^i}$$

Con esto te debe ser sencillo encontrar el gradiente en cualquier tipo de coordenadas.

Ahora pues definamos:

$$\vec \nabla =\sum_i \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert ^{-1} \vec u_{x^i} \frac{\partial }{\partial x^i}$$

Y para la divergencia y rotacional tienes que hacer el tremendo cálculo:

$$\vec \nabla \cdot \vec F=\sum_i \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert ^{-1} \vec u_{x^i} \cdot \frac{\partial \vec F }{\partial x^i}$$

$$\vec \nabla \times \vec F=\sum_i \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert ^{-1} \vec u_{x^i} \times \frac{\partial \vec F }{\partial x^i}$$

Para el diferencial de superficie tendría sentido a priori que definido $dS=dxdy$ fuese la multiplicación para pasar a polares por ejemplo: $dxdy=(\frac{\partial x}{\partial r}dr+\frac{\partial x}{\partial \theta}d\theta)(\frac{\partial y}{\partial r}dr+\frac{\partial y}{\partial \theta}d\theta)$, sin embargo esto no es así. Para calcular la supericie de un paralelogramo calculamos $\Delta \vec S=\Delta_{\lambda} \vec r \times \Delta_{\beta} \vec r$ donde cada incremento se refiere del vector director en esa dirección, haciendo pues el diferencial:

$$d \vec S=d_{\lambda} \vec r \times d_{\beta} \vec r=\frac{\partial \vec r}{\partial \lambda}\times \frac{\partial \vec r}{\partial \beta} d\lambda d \beta$$

Para el volumen, igual que antes: $\Delta V=\vert \Delta_{x^1} \vec r \cdot (\Delta_{x^2} \vec r \times \Delta_{x^3} \vec r) \vert$ entonces: $d V=\vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^1} \cdot (\frac{\partial \vec r}{\partial x^2} \times \frac{\partial \vec r}{\partial x^3}) \vert dx^1 dx^2 dx^3$

- - - Actualizado - - -

PD: en muchos textos a veces llaman factor a escala a: $h_i=\vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial x^i} \vert \vert$, y así evitar escribirlo tanto.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Weip, entonces preguntó si con la suficiente rigurosidad de lo que es un diferencial se llega a los mismo resultados (con respecto al momento de inercia de un sólido rígido por ejemplo) que tomando los diferenciales como incrementos infinitamente prqueños. No creéis que tal vez un diferencial también se pueda interpretar como una variación infinitamente pequeña?

Lo único es que hasta la fecha no se ha podido demostrar tal afirmación con el rigor suficiente

Sí, con la suficiente rigurosidad en las manipulaciones con el diferencial se llegan a los mismos resultados que la física, a costa de perder algunas interpretaciones físicas (pero nada dramático; no te preocupes por este tema porque realmente no hay problema). Lo de la interpretación del diferencial como infinitesimal... como imagen física está bien tenerla pero es que tu puedes tener perfectamente un diferencial que valga 1000... ¿Y 1000 es pequeño? Depende de qué magnitud física se trate y tal, por eso yo diría que esta interpretación tiene sus limitaciones. En todo caso el diferencial no es un infinitesimal. Si lo supones es fácil llegar a contradicciones.

Querría preguntarte Weip, esto demuestra el teorema fundamental del cálculo, quiero decir:

$$f'(x)= \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Por el teorema de Lagrange, deducido de aquí para funciones derivables y contínuas.

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \;\;\;\; c \in [a,b]$$

Escrito con notación de incrementos:

$$\Delta f=f'(x^*) \Delta x \;\;\; x^* \in [x,x+\Delta x]$$

Pero ahora dividiendo en n intervalos, sumando todos y tomando el límite y definiendo la integral:

$$\Delta f=\lim_{n \to \infty} \sum_n f'(x^*_n) \Delta x_n=\int_{a}^{b}f'(x)dx$$

$$\sum_n \Delta x_n=\Delta x=b-a \;\;\;\; x^*_n \in [x+\Delta x_{n-1},x+\Delta x_n]$$

Con lo cuál:

$$f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx$$

Lo cuál demuestra el teorema fundamental del cálculo.

Pero esto es correcto, me he equivocado en algo¿? No la he encontrado en ningún libro de cálculo... Se me ha ocurrido al hacer la explicación anterior.

No, no lo demuestra. El problema está aquí:

Pero ahora dividiendo en n intervalos, sumando todos y tomando el límite y definiendo la integral:

Deberías explicitar qué conjunto escoges y demostrar que efectivamente el conjunto anterior es una partición. Además eso de sumarlos todos y tomar el límite me parece muy impreciso. Me da la impresión de que haces aquello de rellenar tu área de rectángulos y hacer el límite pero es que esa es una construcción complicada. Escrito correctamente a papel y boli esto te ocuparía una página bien bien. De hecho es la construcción de la integral de Riemann al completo.

Aún así no hagas lo que he dicho anteriormente porque será larguísimo y es difícil. Demostraciones hay muchas pero te indico la que sé yo y si eso lo pruebas a ver si te sale. La cosa es demostrar que la función $F(x)=\dst\int_a^x f(t)dt$ tiene derivada por la izquierda y por la derecha (con los límites correspondientes) y vale $f$. Para ello debes acotar tu límite (el cómo te lo dejo a ti), usar la continuidad de $f$ y aplicar la regla del Sandwich. Esto para cada límite (pero hecho uno hecho el otro, las situaciones son simétricas). Reconozco que si yo no conociera esta demostración, no la sacaría ni en broma. Es difícil y requiere detallar todo pero bueno a ver como te va.

Igual si quieres que veamos esto con más profundidad lo suyo seria abrir otro hilo.

Voy a lanzar otra pregunta a Weip que creo que tiene que ver con lo que quiere preguntar Jabato. Deduzco que él quiere saber si la notación dx en la integral, es porque realmente dx es un diferencial, o por qué de esta notación. De hecho, ya que acordamos que: $\Delta x=dx$
Cabe preguntar si esto es lo mismo:

$$\int_a^b f(x) dx=\int_a^b f(x) \Delta x$$

Ah pero de eso no hay duda: no es cierto. Por convenio el diferencial en una integral de Riemann no es operativo. Solo significa respecto a qué variable se integra, pero se puede suprimir y de hecho es habitual hacerlo: $\dst\int_a^b f(x)dx=\dst\int_a^b f$.

Lo demás te lo contesto mañana que es largo.

Edito: Lo siento Jabato, te he vuelto a interrumpir sin querer.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No pasa nada, estuve tratando de continuar mi monologo sobre los elementos diferenciales, pero es que la red esta hecha una zorrera, no se que pasa estos días. Vuelvo a empezar y borro mi mensaje anterior, a ver si ahora puedo terminar lo que quiero expresar, parece que ahora la red está funcionando mejor.

Bueno, si me permitís voy a seguir con mi exposición, la que quedo interrumpida en el mensaje #128. Estaba tratando de calcular la suma:

El caso es que puede demostrarse con cierta facilidad que dicha suma coincide precisamente con la media aritmética de todos los coeficientes $k_i$, y lo representaré de esta forma:

$S=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^ny_y(n)=\overline{k_i}=k$

y de aquí concluir que:

a).- Si substituyo en la suma cualquier número de sumandos (finito o infinito) por infinitésimos equivalentes el valor de la suma no resulta modificado, puesto que los coeficientes $k_i$ seguirán siendo los mismos, y por lo tanto su media aritmética también.

b).- También es posible concluir que solo intervienen en la suma aquellos sumandos cuya constante $k_i$ es no nula.

c).- Una integral no es más que una suma infinita de infinitésimos y por lo tanto todas las conclusiones que saquemos de este pequeño estudio se podrán aplicar a los métodos de integración.

Son tres hechos importantes para entender lo que luego trataré de explicar acerca de lo que debemos entender por elemento diferencial y establecer algunos métodos de trabajo ortodoxos que nos permitan trabajar con estos elementos.

- - - Actualizado - - -

A partir de ahora me centraré en variedades diferenciables de $R^3$ ya que es en este espacio donde se utilizan mayormente los elementos diferenciales, aunque se verá fácilmente que todo lo dicho para estas variedades se puede generalizar para variedades de otras dimensiones. Supongamos pues que se dispone de una variedad definida por sus ecuaciones paramétricas de la forma:

$x=x(u,v,w)\qquad\qquad y=y(u,v,w)\qquad\qquad z=z(u,v,w)$

aunque sabemos que dependiendo de cual sea el número de parámetros utilizados se dispondrá de una variedad de una dimensión u otra, de forma que la dimensión de la variedad coincidirá con el número de parámetros utilizados para definirla, así con un solo parámetro se obtendría una curva alabeada, con dos parámetros obtendremos una superficie y con tres parámetros obtendremos un volumen. Si yo ahora selecciono una determinada región de la variedad estableciendo un determinado intervalo para cada uno de los parámetros utilizados estaré definiendo un elemento diferencial. Así pues, el conjunto de puntos de la variedad que se corresponden con los valores de los parámetros comprendidos en los intervalos:

$(u,u+du)\ (v,v+dv)\ (w,w+dw)$

constituyen el elemento y lo denominaré como dF. Dependiendo del número de parámetros que estemos utilizando estaremos definiendo un elemento diferencial de longitud, de superficie o de volumen y la suma de sus medidas nos debería devolver la medida total de la variedad en la región que estemos considerando. Al tratar ahora de realizar la integración nos vemos abocados a realizar una suma infinita de elementos diferenciales, a la que podemos aplicar los resultados obtenidos anteriormente para este tipo de sumas, de forma que si lo que buscamos es calcular:

$S=\displaystyle\int_v dF$

extendida a un cierto dominio de la variedad podremos substituir cada uno de los elementos diferenciales obtenidos, de los que desconocemos su medida, por uno cualquiera de los infinitésimos equivalentes de los que es posible aproximar su medida, con la seguridad de que la suma total no variará.

Por ejemplo, sabemos que la logitud de un arco de curva y la longitud de su cuerda son infinitésimos equivalentes cuando el arco tiende a aproximarse a un punto, más adelante veremos el caso de superficies y volúmenes. En el caso de una curva alabeada dada por sus ecuaciones paramétricas tendremos:

$x=x(t)\qquad y=y(t)\qquad z=z(t)$

su longitud vendría dada rigurosamente por la suma de sus elementos diferenciales:

$\displaystyle\int_a^b ds$

pero no sabemos cuanto vale la longitud de cada uno de estos elementos, aunque está claro que podemos substituir cada elemento de curva por su infinitésimo equivalente que en este caso es la cuerda del arco correspondiente, obteniendo así la conocida expresión para la rectificación de curvas alabeadas:

$\mathbf{ds}=dx\mathbf i+dy\mathbf j+dz\mathbf k\qquad\to\qquad ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$

que nos va a permitir realizar la integración sin ningún tipo de problema. Claro está que todo este cálculo basado en elementos diferenciales se queda un poco en el aire si no se realiza la explicación previa del porqué puede aproximarse el arco por la cuerda, ya que en esencia lo que estamos sumando son tramos de cuerda y no de arco y no habría garantías de que el resultado debiera de coincidir con el valor buscado. Nótese que el vector $\mathbf{ds}(dx,dy,dz)$ no es el vector tangente si se miran las cosas con el suficiente rigor sino que dichas componentes se corresponden con las de la cuerda del arco usado como elemento diferencial, aunque sabemos que en el límite ambos vectores coinciden. Cuando veamos el caso de superficies o de volúmenes veremos con más detalle la verdadera utilidad de estos métodos. En el caso de superficies se utilizan dos parámetros y por lo tanto existirán dos pares de curvas paramétricas que delimitan el elemento diferencial. La medida del elemento se puede aproximar por el área del paralelogramo formado por las cuerdas de los arcos que lo delimitan y en el caso de volúmenes se utilizan tres parámetros y por lo tanto serán tres parejas de curvas paramétricasla las que delimtan el elemento diferencial. La medida del elemento se puede aproximar por el volumen del paralelepipedo formado por las cuerdas correspondientes, pero en todos los casos y bajo el prisma de este estudio la substitución de un elemento diferencial por otro infinitésimo se justifica siempre por la equivalencia entre ambos infinitésimos. Desde este punto de vista cabe presumir que no es única la substitución que nos permite realizar la integración, ya que el número de infintésimos equivalentes al elemento diferencial que puede utilizarse es infinito, es decir siempre podemos buscar soluciones equivalentes a la ortodoxa y garantizar que el resultado obtenido será el correcto. Esa es una de las razones de la gran versatilidad y agilidad de estos métodos, por lo que son preferidos a los métodos ortodoxos en las disciplinas en las que el rigor matemático no es tan importante como la búsqueda de soluciones intuitivas.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No, no lo demuestra. El problema está aquí:


Deberías explicitar qué conjunto escoges y demostrar que efectivamente el conjunto anterior es una partición. Además eso de sumarlos todos y tomar el límite me parece muy impreciso. Me da la impresión de que haces aquello de rellenar tu área de rectángulos y hacer el límite pero es que esa es una construcción complicada. Escrito correctamente a papel y boli esto te ocuparía una página bien bien. De hecho es la construcción de la integral de Riemann al completo.

Aún así no hagas lo que he dicho anteriormente porque será larguísimo y es difícil. Demostraciones hay muchas pero te indico la que sé yo y si eso lo pruebas a ver si te sale. La cosa es demostrar que la función $F(x)=\dst\int_a^x f(t)dt$ tiene derivada por la izquierda y por la derecha (con los límites correspondientes) y vale $f$. Para ello debes acotar tu límite (el cómo te lo dejo a ti), usar la continuidad de $f$ y aplicar la regla del Sandwich. Esto para cada límite (pero hecho uno hecho el otro, las situaciones son simétricas). Reconozco que si yo no conociera esta demostración, no la sacaría ni en broma. Es difícil y requiere detallar todo pero bueno a ver como te va.

Por lo que leo la integral de Riemman se define:

$$\lim_{max \Delta x_j \to 0} \sum_{j=1}^n f(x_j^*)\Delta x_j=\int_a^b f(x) dx$$

Que es lo que he escrito antes.
Lo único que te quería preguntar, como actúa el límite del sumatorio, ya que estoy de acuerdo que si nos fijamos a que tiende cualquier $x_j^*$ dentro del intevarlo cuando éste tiende a 0 vemos que todos tienden a lo mismo, pero no estoy seguro de que eso tenga que pasar cuando consideramos el anterior límite. En otras palabras, en un intervalo finito, puedo escoger el rectángulo inferior o superior, cómo sé que ambas sumas integrales nferior y superior tienden al mismo límite, y por tanto podemos hablar de integral¿?

Respecto a la anterior demostración, la conozco

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola todavía tengo dudas y quisiera saber si alguien sabe de algún ejemplo en que tomando los diferenciales como infinitesimos se llegue a error