¿Qué es un diferencial?

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola todavía tengo dudas y quisiera saber si alguien sabe de algún ejemplo en que tomando los diferenciales como infinitesimos se llegue a error

Conoces las paradojas de Zenón¿? https://es.wikipedia.org/wiki/Parado...del_movimiento, en concreto fíjate en ésta:
"La paradoja de la flecha caminante

En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible."
Captas el sentido lógico¿? Las demás también son parecidas pero no involucran tanto los conceptos de integral, derivada o diferencial, si no que se puede encarar directamente el problema con series tal y como dice el propio enunciado.
¿Sabrías razonar por qué lo anterior citado falso?

[Richard R Richard]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, me he leido el hilo enterito, y no intervine hasta hoy que limaron sus asperezas , pues le buscaron la quinta pata al gato o la cuarta mas un diferencial . Pero me dejaron en ascuas con las funciones de $\mathbb {R}^n \to \mathbb R$


Con respecto a todo lo anterior, mi punto de vista es mas ingenieril que matemático, del modo en que lo aprendí $\Delta x$ y $dx$ eran cosas distintas pero de la misma naturaleza, el punto de vista de Weip, no es dificil de entender y suponerlas iguales no es tarea difícil.

En particular la diferencia que encontraba entre ambas es que $\Delta x$ expresaba una diferencia entre dos valores reales del continuo de la imagen, y que $dx$ expresa la idealización en la que esa diferencia $(x+dx)-x$ en la que podía hacerla lo mínima posible expresada por medio de un número real o al menos tan pequeña como yo desee.
No es correcto expresar un límite tendiendo a 0, pues el valor de esa diferencia nunca va a ser nulo en las aplicaciones físicas , pero si puedo elegirla tan pequeña posible como quiera , y así entonces asignarle el nombre de $dx$, pero como sabemos que se trata de una idealización bien se lo puede llamar $\Delta x$ igual sin riesgo a equivocarnos de concepto. El post #115 de carroza en parte habla de ello. En física no tiene sentido hablar de infinitésimos,
cual sería la utilidad de considerar que el valor de un diferencial de longitud sea inferior a la longitud de Planck,
lo mismo con el diferencial de tiempo con respecto al tiempo de Planck,
un diferencial de carga, con el valor de una carga puntual, etc


En definitiva mi punto de vista era que $\Delta x$ es igual o mas grande que $dx$ o menos precisa pero representaban lo mismo, que de ser tan importante la controversia, el tema se habría zanjado hace tiempo, si la aplicación de uno u otro concepto hubiese llevado a resultados erróneos.



Volviendo al tema sobre los diferenciales de funciones entonces el de $\mathbb {R}^3 \to \mathbb R$ que es a lo que aquí me trajo....

llamo

$v=f(x,y,z)=x+y+z$

y quiero saber si puedo concluir también que $\Delta x =dx$

según lo expuesto por Wiep yo puedo hacer

$f(x,y,z)=x$ entonces asi $dv=\Delta v=\Delta x=dx$
$f(x,y,z)=y$ entonces asi $dv=\Delta v=\Delta y=dy$
$f(x,y,z)=z$ entonces asi $dv=\Delta v=\Delta z=dz$

Luego $dv=\Delta v=\Delta x=dx=\Delta y=dy=\Delta z=dz=h$

Todo esto esta bien si $v$ se obtiene de una función lineal.


Si llamo

$\vec h= h\cdot(1,1,1)$

$\vec X =(x,y,z)$

$\vec {dW} =(dx,dy,dz)$

Así puedo definir

$\Delta v= f(\vec X + \vec h)-f(\vec X)$

el gradiente como $\vec \nabla = \left ( \dfrac {\partial}{\partial x},\dfrac {\partial}{\partial y},\dfrac {\partial}{\partial z}\right )=(f'_x,f'_y,f'_z)$

A lo que voy es quiero saber si efectivamente el diferencial de v se matemáticamente se construye de la siguiente manera

$v=f(x,y,z)=x+y+z$

$dv=\vec \nabla f \cdot \vec {dW}=dx+dy+dz=3 h$

$\Delta v = h+h+h = 3h$

Entonces $\Delta v =dv$

La igualdad es válida solamente para funciones Lineales de $\mathbb {R}^n \to \mathbb R$ o en entorno muy reducido alrededor de $\vec X$ cuando no lo son, porque como dice alexpglez el diferencial coincide con derivada direccional del vector de diferenciales o es proporcional a esta? o solo me confunde el hecho que use una función lineal.

por lo que pregunto si es correcta entonces esta definición de diferencial para cualquier función de $\mathbb {R}^n \to \mathbb R$

$dv=\vec \nabla f \cdot \vec {dW}$


Gracias


Con respecto a los post #128 y #133 de jabato, en la definición del infinitésimo, entiendo perfectamente la finalidad, pero cual es el tamaño que propones otorgarle $\dfrac 1{\infty}$ matemáticamente es 0 y físicamente inaplicable, no es mejor buscar un tamaño mínimo indivisible...para hacer mediciones reales.

A lo que si me preguntas cual es el valor de ese mínimo y como definirlo para cada medición física , no lo tengo claro, pero como lo exprese antes $\notcien{1.616199}{-35}m$ infinitamente superior a 0, pero 25 ordenes inferior al tamaño de un átomo, por lo que el error cometido es despreciable en cualquier sumatoria de longitudes.

Incluso los límites físicos para todo se encuentran antes, si quieres saber la longitud exacta de una pieza curva, matemáticamente lo puedes hacer evaluando la función creadora y físicamente será la sumatoria de elementos rectos de un tamaño pequeño. Puedes achicar mi regla y aumentar el número de sumandos, pero nunca mi regla puede tener, menos de una molécula y todavía estamos de 25 a 30 órdenes del límite que planteo.

Hola todavía tengo dudas y quisiera saber si alguien sabe de algún ejemplo en que tomando los diferenciales como infinitésimos se llegue a error

Una cosa es que puedas pensar la resolución de la integral como la sumatoria infinitos términos sumados de diferenciales infinitésimos, a que esto sea matemáticamente posible pero no físicamente, y otra que los resultados de ambas formas de resolver lleguen a resultados distintos, hasta ahora no creo que haya calculo que haya sucedido, por eso lo que expone alexpglez es eso una paradoja, algo que aparenta ser cierto, pero no lo es.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola Richard, gracias por tus comentarios. En principio es posible hacer todo el desarrollo imaginando los razonamientos en base a lo que dices, no llegar en los procesos hasta el limite, y de hecho yo he pensado como tu durante mucho tiempo aunque mi tope no estaba en consideraciones cuánticas sino en la precisión de las medidas, es decir durante mucho tiempo para mí un elemento diferencial no tenía que ser infinitamente pequeño sino lo suficientemente pequeño para que los resultados fueran suficientemente aproximados.

Ahora bien, si lo que se pretende es asignar unas bases rigurosas a la forma de trabajar con elementos diferenciales es necesario hacerlo así porque en las demostraciones físicas se hace así. Lo único que yo pretendo es justificar esa forma de trabajar, el día que en las aulas de física supongan que las dimensiones mínimas del espacio-tiempo y por lo tanto las dimensiones mínimas de los elementos diferenciales son precisamente la longitud de Plank y el tiempo de Plank entonces igual me lo pienso y me replanteo este asunto, pero mientras tanto no es eso lo que se hace en las aulas. Mi interés en este asunto no es físico sino matemático, y mi deseo es dar algo de rigor a los razonamientos con elementos diferenciales, aunque yo también soy ingeniero (ya jubilado) y la teta me la dieron bien mezclada con estos elementos, ni te imaginas lo bien que te entiendo.

Si me permitís ahora pondré un ejemplo de cálculo del volumen de la esfera en coordenadas esférica usando el concepto clásico y una variación con el desarrollado aquí. El volumen de la esfera usando coordenadas esféricas al estilo clásico vendía expresado por la integral:

$V=\displaystyle\iiint dV=\displaystyle\iiint r^2Cos(\theta)dr d\theta d\varphi$

expresión que no coincide con el volumen del elemento de esfera considerado sino con el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son iguales en longitud a los arcos elementales de las curvas paramétricas que delimitan el elemento de volumen. Además según hemos visto en este hilo podemos substituir la longitud de un arco por la longitud de su cuerda y obtener otra expresión muy distinta para dicha integral:

$V=\displaystyle\iiint dV=\displaystyle\iiint 4r^2Cos(\theta)dr Sen(d\theta/2) Sen(d\varphi/2)$

expresión que, aunque no sabemos desarrollar como una integral propiamente dicha, desarrollada como una suma debería de conducirnos al mismo valor del volumen de la esfera.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

a).- Si substituyo en la suma cualquier número de sumandos (finito o infinito) por infinitésimos equivalentes el valor de la suma no resulta modificado, puesto que los coeficientes $k_i$ seguirán siendo los mismos, y por lo tanto su media aritmética también.

Creo que no te entiendo. Si consideramos la serie convergente $\dst\sum_{n = 1}^\infty \dst\frac{\sin n}{n}$ y sustituimos el seno por el infinitésimo equivalente $n$ se obtiene la serie divergente $\dst\sum_{n = 1}^\infty \dst\ 1$. ¿Igual no te refieres a esto?

Por lo que leo la integral de Riemman se define:

El problema no es la definición. El problema es que a partir del paso anterior no veo evidente que se deduzca lo que dices. En principio la definición no te permite hacer la implicación que has hecho.

En otras palabras, en un intervalo finito, puedo escoger el rectángulo inferior o superior, cómo sé que ambas sumas integrales nferior y superior tienden al mismo límite, y por tanto podemos hablar de integral¿?

Solo con la definición tendrías que ir función por función e ir comprobando que los límites convergen y son iguales. Esto incluso para funciones sencillas es muy complicado así que en los libros podrás ver que se avanza temario y se demuestra que toda función monótona es integrable Riemann (es decir, las integrales superior e inferior existen y coinciden), que toda función contínua es integrable Riemann... Con estos teoremas ya tienes que los dos límites convergen y coinciden para un montón de funciones.

La igualdad es válida solamente para funciones Lineales de $\mathbb {R}^n \to \mathbb R$ o en entorno muy reducido alrededor de $\vec X$ cuando no lo son, porque como dice alexpglez el diferencial coincide con derivada direccional del vector de diferenciales o es proporcional a esta? o solo me confunde el hecho que use una función lineal.

Siempre que tu función sea diferenciable el diferencial coincide con la derivada direccional, sí.

por lo que pregunto si es correcta entonces esta definición de diferencial para cualquier función de $\mathbb {R}^n \to \mathbb R$
$dv=\vec \nabla f \cdot \vec {dW}$

Es correcta pero con un matiz, $d\vec{W}$ es el vector respecto al que haces la derivada direccional de $v$.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos a ver Weip, creo que no me has entendido. Lo que yo he dado en llamar una suma infinita no es una serie, en una serie los primeros sumandos no se anulan al crecer $n$, en una suma infinita todos los sumandos tienden a anularse al crecer $n$. La suma sería en este caso o bien ésta:

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n \displaystyle\frac{\sin i}{i}$

que no es una suma de infinitos infinitésimos porque los primeros sumandos no se anulan al crecer $n$. O bien esta esta otra suma:

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n \displaystyle\frac{\sin i}{n}$

que en este caso sí es una suma de infinitos infinitésimos, cada uno de los cuales presentaría el siguiente parámetro $h_i$:

$h_i=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\frac{Sen (i)}{n}=Sen(i)$

En este caso dicha suma debería devolver el valor medio del Seno, que sabemos que es 0. ¿Entiendes la diferencia? todos los sumandos deben tender a 0 al crecer $n$, ¡todos los sumandos! en el ejemplo que me has puesto eso no ocurre. Además tu no substituyes un infinitésimo por otro equivalente porque salvo que yo ande muy equivocado $Sen(n)$ no es un infinitésmo cuando $n$ crece indefinidamente. Me parece que aún no lo has entendido del todo.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos a ver Weip, creo que no me has entendido. Lo que yo he dado en llamar una suma infinita no es una serie, en una serie los primeros sumandos no se anulan al crecer $n$, en una suma infinita todos los sumandos tienden a anularse al crecer $n$.

Sigo sin entenderte. No sé qué quieres decir con la frase "en una serie los primeros sumandos no se anulan al crecer $n$", es demasiado imprecisa. También dices que "en una suma infinita todos los sumandos tienden a anularse al crecer $n$". Por eso pregunto ¿Coges un número finito de sumandos y los sumas? ¿O les haces el límite? ¿Se supone que cada sumando es una función y pueden ser distintas entre ellas?

Utilizas la notación usual de las series pero no explicas cómo la entiendes tú y así yo me lío.

Edito: Lo de las funciones lo he encontrado en mensajes anteriores. Sigo leyendo y a ver si lo acabo de entender.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

El planteamiento inicial establece que se va a realizar una suma de $n$ funciones $y_i$ que deben cumplir la siguiente condición:

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n y_i(n)\qquad\qquad \text{tales que}\qquad\qquad \forall y_i(x)\qquad\lim_{x \to \infty}xy_i(x)=h_i=Cte$

y posteriormente se calcula el límite cuando el número de sumando crece indefinidamente. Date cuenta que la condición:

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}xy_i(x)=h_i=Cte$

exige que todos los sumando tiendan a 0 cuando $n$ crece indefinidamente de manera que, al crecer $n$, el número de sumandos también crece pero el valor de cada uno de ellos disminuye hasta anularse, luego cada sumando es un infinitésimo en $n$.

¿Está más claro ahora?

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Gracias Jabato he entendido varias cosas. Más preguntas:

$\dst\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n y_i(n)<br />$

¿Ahí no debería ir $\dst\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n y_i(x)$? Es decir, ¿el dominio de las $y_i$ no son los reales? Por lo que veo las sumas infinitas son series de funciones porque $\dst\lim_{n\to \infty} \dst\sum_{i = 1}^n y_i(n)=\dst\sum_{k = 1}^\infty y_k(n)$. Es la definición de convergencia de una serie de funciones.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n y_i(n)\qquad\qquad \text{tales que}\qquad\qquad \forall y_i(x)\qquad\lim_{x \to \infty}xy_i(x)=h_i=Cte$

y posteriormente se calcula el límite cuando el número de sumando crece indefinidamente. Date cuenta que la condición:

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}xy_i(x)=h_i=Cte$

exige que todos los sumando tiendan a 0 cuando $n$ crece indefinidamente de manera que, al crecer $n$, el número de sumandos también crece pero el valor de cada uno de ellos disminuye hasta anularse, luego cada sumando es un infinitésimo en $n$.

¿Está más claro ahora?

Esto lo entiendo. Pero las conclusiones que sacas de aquí en la anterior página no las tengo muy claras:

a).- Si substituyo en la suma cualquier número de sumandos (finito o infinito) por infinitésimos equivalentes el valor de la suma no resulta modificado, puesto que los coeficientes $k_i$ seguirán siendo los mismos, y por lo tanto su media aritmética también.

Igual es una evidencia pero ¿me lo podrías detallar por favor?

c).- Una integral no es más que una suma infinita de infinitésimos y por lo tanto todas las conclusiones que saquemos de este pequeño estudio se podrán aplicar a los métodos de integración.

Yo la relación que entiendo que hay entre las integrales y tus sumas infinitas es la misma que entre las integrales y las series. Si llamo $y(x)=\dst\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n y_i(x)$ entonces $\dst\int_a^b y(x)dx=\dst\lim_{n \to \infty}\dst\sum_{i = 1}^n \dst\int_a^b y_i(x)dx$. ¿En esto estás de acuerdo?

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

El problema no es la definición. El problema es que a partir del paso anterior no veo evidente que se deduzca lo que dices. En principio la definición no te permite hacer la implicación que has hecho.


Solo con la definición tendrías que ir función por función e ir comprobando que los límites convergen y son iguales. Esto incluso para funciones sencillas es muy complicado así que en los libros podrás ver que se avanza temario y se demuestra que toda función monótona es integrable Riemann (es decir, las integrales superior e inferior existen y coinciden), que toda función contínua es integrable Riemann... Con estos teoremas ya tienes que los dos límites convergen y coinciden para un montón de funciones.

Sobre lo segundo, acabo de leer el teorema, que por cierto no viene en mi libro de cálculo, es por eso que lo preguntaba, por si lo podrías demostrar, pero ya está visto, así que vamos con lo primero.
El teorema de Lagrange dice:

$$f(b)-f(a)=f'(\lambda)(b-a)$$

Para cualquiera sea el intevalo, si es que la función es contínua en él y derivable, vamos a suponer que esto se cumple. Entonces escogiendo un punto c que esté entre a y b:

$$f(c)-f(a)=f'(\lambda_1)(c-a)$$

$$f(b)-f(c)=f'(\lambda_2)(b-c)$$

Entonces sumando ambas:

$$f(b)-f(a)=f'(\lambda_2)(b-c) +f'(\lambda_1)(c-a)$$

Me refiero con esto la partición, ahora para dar el paso a n términos introduciremos la notación $a=x_0 \;\;\; b=x_n$, empezamos por hacer el teorema de Lagrange a una partición:

$$f(x_i)-f(x_{i-1})=f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1}) \;\;\;\; \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Sumando todos los términos:

$$\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})=\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})$$

El primer sumando es:

$$\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)$$

Entonces:

$$f(b)-f(a)=\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1}) \;\;\;\; \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Ahora vamos a tomar el límite cuando el número de particiones tiende a infinito y todas las particiones tienden a 0, o entonces, abreviando, la mayor partición tiende a 0 (que implica las otras 2 proposiciones).

$$f(b)-f(a)=\lim_{max \; (x_{i-1}-x_i) \to 0}\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1}) \;\;\;\; \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Pero si $f'(x)$ es integrable de Riemman, (esto es: es contínua en el intervalo $[a,b]$, o tiene discontinuidades finitas en el mismo) pero dado que es la derivada de una función que en cierto intervalo era contínua y derivable, su derivada necesariamente es contínua. Con lo que cumple que es integrable de Riemman, entonces se puede hablar de integral:

$$\lim_{max \; (x_{i-1}-x_i) \to 0}\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})=\int_a^b f'(x) dx \;\;\;\; \forall \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Entonces nos garantiza que si para cualquier $\lambda_i$ en el intervalo se cumple, también se cumple para uno particular, por lo que (2'):

$$f(b)-f(a)=\int_a^b f'(x) dx$$

Exactamente, si esto es falso, en que me equivoco¿?

- - - Actualizado - - -

Si se quiere generalizar esto para funciones que no sean derivables en todos los puntos, tal que estas discontinuidades de la derivada sean finitas, habría que evaluar (por ejemplo para una sólo discontinuidad) dos sumas integrales que fuesen desde el punto inicial a la discontinuidad y de la discontinuidad al punto final.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos a ver si me explico, las funciones las elijo de forma que satisfagan la condición:

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}xy_i(x)=k_i=Cte$

condición que me garantiza que van a ser infinitésimos de primer orden en el infinito, pero cuando hago el cálculo de la suma infinita solo considero los valores que toman dichas funciones cuando la variable coincide con un número natural y lo puedo expresar por ejemplo así:

$S_n=\displaystyle\sum_{i = 1}^ny_i(n)\qquad\qquad S=\lim_{n \to \infty}S_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n y_i(n)$

Respecto del teorema que afirma que si substituyo en la suma anterior un número cualquiera de sumandos (finito o infinito) por otros que sean sus infinitésimos equivalentes (es decir que tengan el mismo valor de $k_i$) la suma total en el límite, $S$, no varía, no lo busques en los libros porque no lo encontrarás, el teorema es mío. En otro mensaje os pongo la demostración. De momento interesa que entendáis lo que quiero expresar.

¿Va quedando un poco más claro? Quizás si te pones algún ejemplo lo entiendas mejor.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

alexpglez primero comento algunos errores fáciles de arreglar:

El teorema de Lagrange dice:

$$f(b)-f(a)=f'(\lambda)(b-a)$$

Para cualquiera sea el intevalo, si es que la función es contínua en él y derivable, vamos a suponer que esto se cumple.

Para cualquiera sea el intevalo, si es que la función es contínua en él y derivable

Cuidado: el teorema de Lagrange te dice que la función ha de ser derivable en un intervalo abierto y contínua en un intervalo cerrado. Esos dos intervalos no son iguales puesto que en el cerrado los extremos están incluidos y en el abierto no.

Me refiero con esto la partición, ahora para dar el paso a n términos introduciremos la notación $a=x_0 \;\;\; b=x_n$, empezamos por hacer el teorema de Lagrange a una partición:

$$f(x_i)-f(x_{i-1})=f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1}) \;\;\;\; \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

$\lambda_i \in (x_{i-1}, x_i)$. Te lo dice el enunciado del teorema.

Hay más pero son detalles, mejor lo dejo aquí. Aunque no esté bien vale la pena intentar hacer estas demostraciones porque se aprende mucho. Al menos a mí me pasa.

Ahora con lo de Jabato:

pero cuando hago el cálculo de la suma infinita solo considero los valores que toman dichas funciones cuando la variable coincide con un número natural

Lo que no entiendo es porqué. $n$ va a crecer mucho, ¿no vamos a tener problemas con algunas funciones $y_i(n)$ al hacer el límite? Además ¿qué pasa cuando la variable no es natural? En este último caso ¿el resto de las propiedades no serán aplicables? Sé que soy insistente, igual hoy no es mi día, pero es necesario para pasar a los elementos diferenciales.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Mejor escribo en otro hil9 para no molestar a Jabato. Sólo una duda, he definido el punto b=x_n por tanto f (b)=f (x_n), no b=x_1. Asi que en principio es falso el contraargumento.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Mejor escribo en otro hil9 para no molestar a Jabato. Sólo una duda, he definido el punto b=x_n por tanto f (b)=f (x_n), no b=x_1. Asi que en principio es falso el contraargumento.

Ya ya me he dado cuenta, había entendido otra cosa y releyéndote he visto qué querías decir. Iba a editar el mensaje para seguir pero bueno ya da igual, lo dejo así y hablamos en el otro hilo.

Para futuros visitantes: a lo que se refiere alexpglez lo he borrado mientras él escribía así que...

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Comic Sans MS]Hola Jabato,[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS] No se si he seguido bien el sentido de tu teorema, pero me queda una duda. según tu notación (y disculpa la escritura en latex directa, trataré de ser lo más clara posible), las funciones y_i(x) son tales que en el límite de x yendo a infinito el producto xy_i(x) tiende a algún valor dado h_i, Entonces tu terema afirma que el límite cuando n va a infitito de las sumas parciales de todos los y_i(n) dese i=1 hasta n, no cambia si sustituimos los y_i por otros y_i’ que cumplan la misma propiedad, o sea, que el limite cuando x va a infinito de xy’_i(x) sea h_i como antes. Es ese el sentido de tu teorema?[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]Saludos[/FONT]

- - - Actualizado - - -

[FONT=Comic Sans MS]Entonces si es así, pongamos que tomo unas funciones y_i(x) dadas (tales que xy_i(x) tiendan a h_i cuando x va ainfinito) y defino otras nuevas como,[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]
[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]y’_i(x) = y_i(x) + i/x^2[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]evidentemente el límite cuando x va a infinito de xy_i(x)=xy’_i(x)=h_i ya que el segundo término se anula, sin embargo la suma S’_n desde i =1 hasta n de y_i^’ es distinta a S_n que es la misma suma para y_i, En efecto,[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]S’_n = S_n + \frac{n(n+1)}{2n^2}[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]Y aún más, en el límite cuando n va a infinito se tiene que[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]S’ = S + 1/2[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]que no son iguales, a pesar de que hemos sustituido por y’s equivalentes.[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]Contradice esto tu teorema?[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: ¿Qué es un diferencial?

hola justinux no entiendo la formula de tu ejemplo

$y'_i(x) = y_i(x) + i/x^2$ ????

o quisiste decir

$y'_i(x) = y_i(x) + \dfrac{y_i(x)}{x^2}$

La verdad no entiendo el ejemplo , es un error de tipeo?