¿Es la Relatividad Especial compatible con un Universo cerrado o compacto?

[Richard R Richard]

Cuando he visto tu expresión (19) enseguida me ha chirriado algo.

No era el resultado que esperaba obtuvieras por culpa del término cruzado con el $2\omega \sin\phi d\phi dt$ que me sobraba. Había algo mal que estaba introduciendo ese término adicional y, tras revisar el resto de tu desarrollo, creo que he encontrado tu error. El problema está aquí:

ya que un movimiento de rotación debe afectar a al menos dos coordenadas, en este caso la x y la y. Si estás suponiendo un movimiento circular y tienes un $d\phi$ que afecta al dx, ese mismo $d\phi$ debe afectar al dy. Al hacerlo, la métrica que obtendrás será distinta a la tuya.

Hola, habrás visto que escribí que había posteado la misma respuesta previamente, pero la borré, y de hecho fue un error también borrarla totalmente, ya que 1 minuto o menos después me dí cuenta de que no era un error y ese error que pensé que había cometido era justamente el que tu me indicas, que el movimiento debía afectar a dos coordenadas...perdí 1hora al teclado, pero no, no es cierto, piénsalo más tranquilo, fijate que el hecho de "rotar" es asumir la experiencia de un observador en el que en sus inmediaciones todo es estático, pero que todo el resto del universo le pasa a velocidad -v por delante, pero de dónde viene este pensamiento, es la contrapartida a pensar de ir en la con velocidad v en una única dirección en un universo que es curvo, no hay una combinación de direcciones, el observador se mueve a velocidad v respecto de uno estático solo en dirección X (la que elegimos arbitrariamente), por lo que cuando te pones en la piel de ese observador móvil, el universo se mueve solo en la dirección X a velocidad -v.

Es difícil para nosotros con la mente siempre pensando en 3d plano, asimilar que no es una traslación normal puesto que podemos repetir la coordenada y por ello le llamamos "giro". Entonces quedémonos tranquilos es una traslación sobre la superficie de la hiperesfera 4d en una sola dirección y sentido, no una combinación de dos direcciones. El ejemplo de esto en 2d embebida en el 3d es que tu puedes girar por el ecuador recorriendo la superficie de la tierra(esfera) y volver al mismo punto sin nunca haber transitado por un meridiano. El radio de giro está en una dirección que no pertenece a ese espacio superficial.

Volviendo al universo que analizamos y suponiendo le asignamos las tres direcciones principales y sus dos sentidos (como en el nuestro), entonces en cualquier dirección y sentido que tome B siendo $\vec v$ cualquier combinación de ellos siempre volverás al punto de partida luego de haber recorrido $2\pi R$ y aunque R tenga unidades de longitud y lo consideremos un vector, su dirección no pertenece al espacio 3d esta justamente en la cuarta dimensión ortogonal de la hiperesfera.

Me ha encantado que hayas hecho tu análisis porque, independientemente del error, no sabía si ese camino que has tomado era una opción viable que yo pudiera usar. Pero ahora que veo que lo has usado, y parafraseándo un comentario tuyo a javisot20, igual tú mismo te estás metiendo en la ratonera por ese camino ;-) Y si no es así, me valdrá para preguntar y entender varias dudas que tenía con esta parte.

Así que bueno , que así va bien, no hay tal error, pero te aliento a que sigas adelante, los gráficos que tú has hecho, a duras penas los comprendo después de mucho intentarlo y no me atrevo a hacer uno que represente este espacio aún con la métrica ya resuelta, quizá por falta de experiencia...y si allí te da que c es o no es constante, veremos así quién lleva razón.

Saludos

[JGabrielRE]

Hola javisot20:

Hombre, el título es llamativo, entiendo que pueda tener más visualizaciones que otros hilos.

Claro, hay que llamar la atención para que, al menos al inicio, la mayor cantidad de gente entre al hilo y así obtener ayuda. Es un título clickbait ;-)

Entiendo Gabriel que este hilo tiene 2 partes, "¿la TRE es válida para un universo estático y cerrado sin rotación?", esa parte diría que quedó zanjada, incluso con el vídeo de Javier basta.

La otra parte que nos está llevando más comentarios es la constancia de c y su importancia

Pues no sé, la verdad. Si consideras que la primera parte está zanjada con un resultado válido para la TRE, entonces la importancia de la constancia de c es mucha, pues si se llegara a que no es constante entonces tendrías que decir que la TRE no es válida.

Por el contrario, si crees que la respuesta a la primera parte es que la TRE no es válida, entonces me gustaría saber qué falla en ella y por qué la constancia de c se debe mantener.

¿podemos suponer algo distinto al consenso establecido y llegar a lo mismo?, bueno...es un tema complicado.

Perdona, pero no entiendo qué quieres decir con esto.

Gracias y saludos.

Gabriel

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Muchas gracias por tu respuesta. Menuda currada te has dado, y más con la cantidad de ecuaciones que has metido. Es la primera explicación que recibo detallada en este hilo y lo valoro mucho, y más si pienso en lo mal que se me da a mí el LaTeX. Gracias, de verdad.

Pero vamos con tu análisis.

La hiperesfera en 4d tiene la forma

$$dX^2+dY^2+dZ^2+dW^2=dS^2$$

una tres esfera inmersa cumple que

$$X^2+Y^2+Z^2+W^2=R^2$$

si se la quiere parametrizar con vectores en 3d a ese espacio en 4d

$$\vec R =(R\sin\chi \vec {\mathbf r}, R\cos\chi)$$

para que el producto escalar de $\vec R\cdot\vec R =R^2$ debe suceder que $\vec {\mathbf r}\cdot \vec {\mathbf r}=1$

puesto que

$$R^2=R^2\sin^2\chi \overbrace{\vec {\mathbf r}\cdot \vec {\mathbf r}}^{1}+ R^2\cos^2\chi$$

para calcular la métrica de ese espacio calculamos

$$d\vec R =(R\cos\chi \vec {\mathbf r}+R\sin\chi d\vec {\mathbf r}, -R\sin\chi )$$

llamamos a esta métrica espacial

$$d\ell^2=d\vec R\cdot d\vec R=R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi d\vec {\mathbf r}\cdot d\vec {\mathbf r}$$

escribiendo $\vec {\mathbf r}$en un espacio de radio unitario

$$x =\sin\theta\cos\phi$$

$$y =\sin\theta\sin\phi$$

$$z =\cos\theta$$

tenemos que

$$dx=\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi$$

si el espacio está en rotación ya depende del tiempo $x=x'-\omega t$ por lo que $dr^2=dx'^2+dy^2+dz^2$

queda

$$dr^2=(dx-\omega dt)^2+dy^2+dz^2$$

de donde

$$dr^2=dx^2-2\omega dtdx+\omega^2dt^2+dy^2+dz^2$$

reemplazado los diferenciales en esféricas

$$dr^2=d\theta^2+\sin\theta d\phi^2-2\omega dt(\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi)+\omega^2dt^2$$

reemplazando en la métrica

$$d\ell^2=R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi [d\theta^2+\sin\theta d\phi^2-2\omega dt(\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi)+\omega^2dt^2]$$

lo que falta incorporar sería el tiempo que si lo suponemos pasa de una manera constante para los observadores en reposo al universo , la métrica espacio temporal resulta

$$ds^2=-c^2dt^2+R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi [d\theta^2+\sin\theta d\phi2-2\omega dt(\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi)+\omega^2dt^2]$$

reacomodando

$$ds^2=-(c^2-\omega^2R^2\sin^2\phi)dt^2+R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi [d\theta^2+\sin\theta d\phi^2-2\omega\cos\theta\cos\phi d\theta dt+2\omega \sin\theta\sin\phi d\phi dt)]$$

si suponemos que la métrica tiene solución en las ecuaciones de Einstein, y que podemos plantear una geodesia que responda a

$$\chi=\dfrac\pi 2=cte \Longrightarrow d\chi=0$$

$$\theta=\dfrac\pi 2=cte \Longrightarrow d\theta=0$$

la métrica se simplifica a

$$\boxed{ds^2=-(c^2-\omega^2R^2)dt^2+R^2[ d\phi^2+2\omega \sin\phi d\phi dt] }$$

que es una métrica no diagonal, como advertía carroza

y creo se puede tener en cuenta que $X=\phi R \Longrightarrow d X= d\phi R$ con $X\in [0,2\pi R]$

$$ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+R^2[ \dfrac{dX^2}{R^2}+2\dfrac{v}{R^2} \sin\left(\dfrac{v}{R}t\right) dX dt]$$

llegando a

$$\boxed {ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dX^2+2v \sin\left(\dfrac{v}{R}t\right) dX dt }$$

que no es isótropa ni homogénea como dije antes, por eso puede haber caminos de distinta longitud en distintas direcciones y sentidos, siga cumpliendose que $c$ es una constante para todos los observadores inerciales, y que todos experimentan la misma física, es decir podemos seguir estando en el marco de la RG. Es fácil ver que si $\omega =0 \Longrightarrow v= \omega R=0$ se recupera la métrica propuesta por Javier Garcia

Solo queda por hacer el diagrama de las líneas de mundo y ver que pasa.

Cuando he visto tu expresión (19) enseguida me ha chirriado algo.

la métrica se simplifica a

$$\boxed{ds^2=-(c^2-\omega^2R^2)dt^2+R^2[ d\phi^2+2\omega \sin\phi d\phi dt] }$$

No era el resultado que esperaba obtuvieras por culpa del término cruzado con el $2\omega \sin\phi d\phi dt$ que me sobraba. Había algo mal que estaba introduciendo ese término adicional y, tras revisar el resto de tu desarrollo, creo que he encontrado tu error. El problema está aquí:

si el espacio está en rotación ya depende del tiempo $x=x'-\omega t$ por lo que $dr^2=dx'^2+dy^2+dz^2$
queda

$$dr^2=(dx-\omega dt)^2+dy^2+dz^2$$

ya que un movimiento de rotación debe afectar a al menos dos coordenadas, en este caso la x y la y. Si estás suponiendo un movimiento circular y tienes un $d\phi$ que afecta al dx, ese mismo $d\phi$ debe afectar al dy. Al hacerlo, la métrica que obtendrás será distinta a la tuya.

Me ha encantado que hayas hecho tu análisis porque, independientemente del error, no sabía si ese camino que has tomado era una opción viable que yo pudiera usar. Pero ahora que veo que lo has usado, y parafraseándo un comentario tuyo a javisot20, igual tú mismo te estás metiendo en la ratonera por ese camino ;-) Y si no es así, me valdrá para preguntar y entender varias dudas que tenía con esta parte.

Muchas gracias nuevamente por tu tiempo y saludos.

Gabriel.

[Richard R Richard]

La hiperesfera en 4d tiene la forma

$$dX^2+dY^2+dZ^2+dW^2=dS^2$$

una tres esfera inmersa cumple que

$$X^2+Y^2+Z^2+W^2=R^2$$

si se la quiere parametrizar con vectores en 3d a ese espacio en 4d

$$\vec R =(R\sin\chi \vec {\mathbf r}, R\cos\chi)$$

para que el producto escalar de $\vec R\cdot\vec R =R^2$ debe suceder que $\vec {\mathbf r}\cdot \vec {\mathbf r}=1$

puesto que

$$R^2=R^2\sin^2\chi \overbrace{\vec {\mathbf r}\cdot \vec {\mathbf r}}^{1}+ R^2\cos^2\chi$$

para calcular la métrica de ese espacio calculamos

$$d\vec R =(R\cos\chi \vec {\mathbf r}+R\sin\chi d\vec {\mathbf r}, -R\sin\chi )$$

llamamos a esta métrica espacial

$$d\ell^2=d\vec R\cdot d\vec R=R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi d\vec {\mathbf r}\cdot d\vec {\mathbf r}$$

escribiendo $\vec {\mathbf r}$en un espacio de radio unitario

$$x =\sin\theta\cos\phi$$

$$y =\sin\theta\sin\phi$$

$$z =\cos\theta$$

tenemos que

$$dx=\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi$$

si el espacio está en rotación ya depende del tiempo $x=x'-\omega t$ por lo que $dr^2=dx'^2+dy^2+dz^2$

queda

$$dr^2=(dx-\omega dt)^2+dy^2+dz^2$$

de donde

$$dr^2=dx^2-2\omega dtdx+\omega^2dt^2+dy^2+dz^2$$

reemplazado los diferenciales en esféricas

$$dr^2=d\theta^2+\sin\theta d\phi^2-2\omega dt(\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi)+\omega^2dt^2$$

reemplazando en la métrica

$$d\ell^2=R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi [d\theta^2+\sin\theta d\phi^2-2\omega dt(\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi)+\omega^2dt^2]$$

lo que falta incorporar sería el tiempo que si lo suponemos pasa de una manera constante para los observadores en reposo al universo , la métrica espacio temporal resulta

$$ds^2=-c^2dt^2+R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi [d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2-2\omega dt(\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi)+\omega^2dt^2]$$

reacomodando

$$ds^2=-(c^2-\omega^2R^2\sin^2\chi)dt^2+R^2d\chi^2+R^2\sin^2\chi [d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2-2\omega\cos\theta\cos\phi d\theta dt+2\omega \sin\theta\sin\phi d\phi dt)]$$

si suponemos que la métrica tiene solución en las ecuaciones de Einstein, y que podemos plantear una geodesia que responda a

$$\chi=\dfrac\pi 2=cte \Longrightarrow d\chi=0$$

$$\theta=\dfrac\pi 2=cte \Longrightarrow d\theta=0$$

la métrica se simplifica a

$$\boxed{ds^2=-(c^2-\omega^2R^2)dt^2+R^2[ d\phi^2+2\omega \sin\phi d\phi dt] }$$

que es una métrica no diagonal, como advertía carroza

y creo se puede tener en cuenta que $X=\phi R \Longrightarrow d X= d\phi R$ con $X\in [0,2\pi R]$

$$ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+R^2[ \dfrac{dX^2}{R^2}+2\dfrac{v}{R^2} \sin\left(\dfrac{v}{R}t\right) dX dt]$$

llegando a

$$\boxed {ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dX^2+2v \sin\left(\dfrac{v}{R}t\right) dX dt }$$

que no es isótropa ni homogénea como dije antes, por eso puede haber caminos de distinta longitud en distintas direcciones y sentidos, siga cumpliendose que $c$ es una constante para todos los observadores inerciales, y que todos experimentan la misma física, es decir podemos seguir estando en el marco de la RG. Es fácil ver que si $\omega =0 \Longrightarrow v= \omega R=0$ se recupera la métrica propuesta por Javier Garcia

Solo queda por hacer el diagrama de las líneas de mundo y ver que pasa.

Saludos

Había tipeado la misma respuesta , y la borré pensando en un error que no existía.

[javisot20]

es normal pensar que igual estoy mareando la perdiz y haciendo perder el tiempo a gente con tonterías. En este hilo al final sólo quedáis tú y Richard, el resto no participa. Pero el caso es que veo que tiene ya más de 900 visualizaciones, muchas más de lo normal en el foro, pero apenas participantes .Entonces me pregunto si es porque no es interesante o porque se han perdido entre tanto comentario y respuesta.

Hombre, el título es llamativo, entiendo que pueda tener más visualizaciones que otros hilos. Nosotros mismos para escribir y ver los enlaces sumamos muchas visualizaciones. En el foro puedes encontrar largos y profundos debates hace tiempo pero también notarás que hoy en día el formato es otro, de manera bastante natural, con hilos más cortos y directos. La gente veterana ha pasado muchas veces por los mismos debates, es normal entonces.

Chascarrillo sobre chat gpt3, la máquina no sabe hacer física pero tiene disponibilidad total, punto para la máquina (jeje).



Entiendo Gabriel que este hilo tiene 2 partes, "¿la TRE es válida para un universo estático y cerrado sin rotación?", esa parte diría que quedó zanjada, incluso con el vídeo de Javier basta. La otra parte que nos está llevando más comentarios es la constancia de c y su importancia, ¿podemos suponer algo distinto al consenso establecido y llegar a lo mismo?, bueno...es un tema complicado.

[JGabrielRE]

Hola javisot20:

Gracias por tus comentarios.

(Por cierto Gabriel, no te frustres, es genial que propongas debate sobre la relatividad pero es un tema complejo tanto de entender como de explicar, saludos)

Gabriel, gracias por extenderte en lo que quieres explicar, debo preguntar una cosa,

Sí, me frustro si no consigo hacerme entender. No me importa extenderme todo lo que sea necesario para intentar explicarme, pero si al final llegamos a un comentario como

Ya he perdido de vista que nos quieres decir o preguntar. Si es valido aproximar a Minkowsky cuando los planos tangentes del espacio de cada uno de los observadores son muy parecidos, pero no lo son por lo general en espacio curvos.

es normal pensar que igual estoy mareando la perdiz y haciendo perder el tiempo a gente con tonterías. En este hilo al final sólo quedáis tú y Richard, el resto no participa. Pero el caso es que veo que tiene ya más de 900 visualizaciones, muchas más de lo normal en el foro, pero apenas participantes .Entonces me pregunto si es porque no es interesante o porque se han perdido entre tanto comentario y respuesta.

Un único observador en un universo cerrado y estático si lleva v=0 no está siendo afectado por la curvatura, para ser afectado por la curvatura debería moverse. En todo caso, sería el pulso que emite quién es afectado por la curvatura.

Efectivamente, los pulsos que emita el observador privilegiado para medir c estarían afectados por la curvatura.

Imagino que te refieres a v=0 respecto del universo, asumes que el universo no rota o que rota pero el observador rota con él a la misma velocidad, ¿no?

Correcto, estoy asumiendo que el universo no rota, es el caso más simple.

Que el observador y universo rotaran a la misma velocidad puede suponer un análisis más complejo, porque para que ese observador mantuviera c en cualquier dirección significaría que la rotación debe arrastrar la luz también a la misma velocidad, en cuyo caso todo se puede "simplificar" suponiendo que nada rota.

En caso contrario de que la luz no se viera arrastrada por la rotación, un observador desplazándose a la velocidad de rotación debería ser capaz de medir velocidades distintas de la luz y, por tanto, detectar dicha rotación. Pero en cualquier caso, no sé si esto tiene mucho sentido y complica las cosas, y no tengo nivel como para más complicación, así que mejor quedarnos con un universo que no rota ;-)

Si por ejemplo el observador emite dos pulsos en direcciones contrarias y uno de los pulsos tarda más en llegar puede justificarlo con la rotación del propio universo sin tocar la velocidad de la luz.

Sí, es lo que te comentaba antes, pero mejor volver a un universo sin rotación.

Eso que indicas pasaría por ejemplo en la Tierra. Cualquier observador estático en su superficie que emita pulsos de luz en sentidos opuestos (suponiendo que hay espejos o algún sistema que haga a la luz rodear la Tierra) mediría velocidades de la luz distintas, lo que le permitiría detectar que está rotando.

Sin embargo, si la Tierra no rotara, cualquier observador estático en su superficie mediría siempre c y serían los observadores que se movieran los que obtendrían valores distintos. Son los efectos tipo Sagnac. Y es ese mismo efecto es el que, creo, se puede extrapolar al universo estático.

Que la velocidad de la luz fuese distinta según la dirección (que no el sentido) implicaría que un observador en reposo respecto de un universo estático y cerrado emitiría dos pulsos en direcciones opuestas y los recibiría en distintos tiempos, pero no estamos hablando de eso por lo que veo.

Aquí no sé si te estas refiriendo a un universo en rotación.

En un universo estático y cerrado sin rotación, un observador en reposo mide siempre c, independientemente del sentido de transmisión de la luz. Son los observadores con velocidad v respecto al universo los que miden valores diferentes porque al medir los tiempos de vuelo de los rayos obtienen tiempos distintos para cada rayo.

Gracias y saludos.

Gabriel

[Richard R Richard]

Hola, no te preocupes por la diferencia horaria, esto no se trata de velocidad respuesta, si no de responder con cierto criterio, acertado o no o en el limbo veremos.

No obstante, aunque no fueran rectas, creo que no habría manera de dibujar los rayos de luz de manera que sean simultáneos para todos los observadores.

eso no sucede en el espacio plano de Minkowsky porque sucedería aquí entonces? no se a que viene esa frase.

Ya he perdido de vista que nos quieres decir o preguntar. Si es valido aproximar a Minkowsky cuando los planos tangentes del espacio de cada uno de los observadores son muy parecidos, pero no lo son por lo general en espacio curvos.

Saludos

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard :

Gracias por tus respuestas. Entro sólo un momento para comentarte un par de cosas rápidas. Por las horas en las que respondes, me da que hay diferencia horaria entre los dos y no quiero que pierdas tiempo en cálculos que igual no son necesarios.

No comparto la diferencia, si es que mi capacidad matemática me alcanza, desarrollo la métrica , busco una geodésica estática, y desarrollo esos mismos diagramas espaciotemporales y veremos que sale de ahí.

En una respuesta de carroza a mi pregunta

Mi duda es si el diagrama de tiempos que he incluido antes es correcto o no. Si se puede deducir la existencia de un sistema de referencia privilegiado y si un observador que se mueva a velocidad v respecto a él medirá valores de la velocidad de la luz distintos dependiendo del sentido del envío.

escribió:

Has dibujado unas líneas rectas, que no tendrían por qué ser las geodésicas en esa geometría, ni representar el movimiento de la luz en ese sistema.

A lo que yo respondí:

Efectivamente, las he puesto rectas, pero es que creo que Javier en su vídeo calcula las geodésicas y obtienen que son líneas rectas. No obstante, aunque no fueran rectas, creo que no habría manera de dibujar los rayos de luz de manera que sean simultáneos para todos los observadores.

Y tras estudiar un poco mejor el diagrama y entenderlo:

Hola. (he corregido alguna cosa, ahora que entiendo mejor tu diagrama. L da la vuelta completa al universo.

a la pregunta de si mi diagrama era correcto ya respondió corrigiendo su respuesta anterior que:

Es correcto. Pero la diferencia de tiempos no implica la diferencia de velocidades. la luz recorre caminos diferentes, por los dos caminos, para cualquier observador.

Con esto sólo quiero ahorrarte igual algo de tiempo. Los cálculos de las geodésicas las hace Javier en su vídeo y carroza da por bueno el diagrama de tiempos.

Hoy ya es muy tarde, mañana contesto al resto de cosas pendientes (también a javisot20 ).

Gracias y saludos.

Gabriel

[Richard R Richard]

Efectivamente, es lo que estoy suponiendo, que en el universo estático de Einstein se puede medir la luz en un sentido pero a nivel global, no localmente. O no al menos hasta después de esta primera medida global.

Bueno eso es totalmente opuesto a TR, y como te dije bajo TR es justamente lo contrario localmente los cambios de coordenadas entre observadores se hace de manera local, y de manera global interviene la métrica. Cosa que no veo que uses para el observador en movimiento.

creo coincide con el tuyo.

No , no , al revés, Jaja, si el mio concide con el de él creo que ya es un paso importante.

Pero mi duda sobre ese argumento es que está hecho desde la perspectiva del observador privilegiado. Para el observador en movimiento, los caminos que recorren los rayos de luz son iguales. Sí, es cierto que el observador en movimiento, una vez conocida su velocidad v, podría asumir ese argumento y justificar la diferencia de tiempos de vuelo de los fotones como diferencia de caminos. Pero, sinceramente, creo que eso complica más las cosas que el hecho de prescindir de la constancia de c.

Si B viaja a derecha a velocidad v tiene tiempos de recepción de pulsos a derecha e izquierda que cumplen $T_{DD}>T_{DI}$
Si B viaja a izquierda a velocidad -v tiene tiempos de recepción de pulsos a derecha e izquierda que cumplen $T_{ID}<T_{II}$

si comparamos para el mismo modulo de velocidad entonces $T_{DD}=T_{II}$y $T_{DI}=T_{ID}$ es decir fácilmente ves que es por diferencia de recorridos, es decir que es por una condición que impone el espaciotiempo, el problema es simétrico respecto a la variable x.

Con esto reitero que la métrica del espaciotiempo del observador B no es la misma que el observador A.

Para A tienes

$x^2+y^2+z^2+w^2=R^2$

y con ello llegas a la métrica

$ds^2=-c^2dt^2+d\chi^2+\sin^2\chi(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$

para el observador B en movimiento en la dirección x por ejemplo hay diferencias

$(x-vt)^2+y^2+z^2+w^2=R^2$

con lo cual la métrica de ese espacio no resulta de calcularla no puede ser la misma que para A. Y como es difícil, pero no imposible, al menos para mí obtenerla, estoy tentado a sugerir que los diagramas que propones no salen tan rápidamente de analizar las geodesias de un observador estático en ese espacio en movimiento. (Javier hace el análisis en un espacio 4D y luego incorpora el tiempo para no calcular muchos mas símbolos de Christoffel , que le iban a resultar nulos, pero en este caso es inevitable hacerlo, ya que la coordenada x se ve alterada directamente por el tiempo).
Cuando desarrolles el cálculo de esa métrica y obtengas una conclusión, si haces que v=0 debe darte la misma métrica que el observador estático, recuperando la condición de que todos los observadores inerciales ven las mismas leyes físicas cumpliendose.

Ahora pasaremos a analizar las medidas locales de c hechas por A. Para ello, A tiene que construir un sistema de referencia que, de acuerdo con Einstein, significa poner relojes a distintas distancias y sincronizarlos todos de acuerdo a su criterio.

Porque que incluir más relojes que dos, uno estático en el origen , y otro en el punto a sincronizar. La crítica siempre esta en que al mover el SR por el espacio-tiempo, la velocidad no es nula, y puede desincronizarse y no lo podemos saber , introducir mas relojes complica la cosa, aceptas por defecto que todo lo que mides lo haces o no en un reloj sincronizado y listo.

Pero ¿qué particularidad tiene A? Pues que también su medida global usando un único reloj da como resultado c.

y yo estoy tratando de decirte que con la métrica de B $\Longrightarrow$ Pues que también su medida global usando un único reloj da como resultado c.

Entonces, llegado a este punto, deberíamos coincidir en que también para B, la velocidad de la luz es c para toda medida que haga en su universo. Y en ningún caso B observa que los caminos recorridos por los rayos hacia la izquierda o la derecha sean distintos, como tampoco observa o mide ningún efecto de la curvatura en la velocidad de la luz, independientemente de cómo de local sea la medida.

El universo de B gira en un sentido , es inhomogéneo, y no isótropo luego es buen momento para preguntarse si las mediciones de distancias y tiempos son iguales en todas las direcciones y sentidos. pero que su ratio para la velocidad de la luz sea una constante.

Pero entonces ¿dónde está la peculiaridad de este observador en movimiento B? Pues que si realiza la medida de manera global usando sólo un reloj en el origen de coordenadas, es decir, eliminando el muro y dejando que el rayo enviado regrese y lo alcance,

No comparto la diferencia, si es que mi capacidad matemática me alcanza, desarrollo la métrica , busco una geodésica estática, y desarrollo esos mismos diagramas espaciotemporales y veremos que sale de ahí.

Saludos

[javisot20]

Saludos Gabriel, gracias por extenderte en lo que quieres explicar, debo preguntar una cosa,

Primero asumimos que existe un observador privilegiado, A, que también está afectado por la curvatura del universo, y para el que la velocidad de la luz en ambos sentidos es c (supondremos para él que su velocidad es v = 0). Para medir esa velocidad lanza rayos de luz en direcciones opuestas y obtiene siempre tiempos de vuelo idénticos independientemente del sentido de envío. Para hacer esta medida, el observador A únicamente ha necesitado de un reloj para medir tiempos.

Un único observador en un universo cerrado y estático si lleva v=0 no está siendo afectado por la curvatura, para ser afectado por la curvatura debería moverse. En todo caso, sería el pulso que emite quién es afectado por la curvatura. Imagino que te refieres a v=0 respecto del universo, asumes que el universo no rota o que rota pero el observador rota con él a la misma velocidad, ¿no?

Si por ejemplo el observador emite dos pulsos en direcciones contrarias y uno de los pulsos tarda más en llegar puede justificarlo con la rotación del propio universo sin tocar la velocidad de la luz.

Que la velocidad de la luz fuese distinta según la dirección (que no el sentido) implicaría que un observador en reposo respecto de un universo estático y cerrado emitiría dos pulsos en direcciones opuestas y los recibiría en distintos tiempos, pero no estamos hablando de eso por lo que veo.

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Muchas gracias como siempre por tu tiempo. Espero poder responder y aclarar algunas de las preguntas que haces.

Me has clavado la intriga, como es eso posible?, ojo con esbozar nuevas teorías explícamelo basado en TR o alguna teoría revisada por pares, si ya lo hiciste me lo he perdido...

Creo que estás suponiendo que si emite luz a favor de su velocidad entonces tardará más en llegarle por la espalda , que lanzandola por la espalda y le llegue de frente, pero tambien habrá recorrido más espacio al salir por el frente que saliendo por espalda, .... No se si ese era el argumento de carroza, pero si es el mio.

Efectivamente, es lo que estoy suponiendo, que en el universo estático de Einstein se puede medir la luz en un sentido pero a nivel global, no localmente. O no al menos hasta después de esta primera medida global.

He leído la argumentación de carroza, no creo se refiera a que localmente un observador mida un valor diferente en un camino de ida y vuelta en geometría local, lo repasaré, no es mi idea argumentar por alguien que tiene mas conocimiento que yo, ni escribir palabras que no tipeó, allí lo dejo.

El argumento exacto de carroza es:

Hola. Creo que hay un tema muy sencillo, que no tiene ni siguiera que ver con relatividad, para que entiendas que los tiempos deben ser distintos para el observador movil. El fotón descrito por tu linea celeste, describe un camino más largo que el fotón descrito por tu linea roja. Esto ocurre para cualquier velocidad del observador, incluso para velocidades muy pequeñas, para las que los efectos relativistas sean despreciables. Esto puedes verlo graficamente en tu esquema, si aumentas la pendiente de la linea naranja (por ejemplo, si pones v=c/10). El foton celeste recorre un camino un poco más largo que el fotón rojo, en cualquier sistema, por lo que es normal que el tiempo para detectar el foton celeste sea un poco más grande que el tiempo para detectar el fotón rojo. No hay por qué tocar la velocidad de la luz.

que, efectivamente, creo coincide con el tuyo.

Pero mi duda sobre ese argumento es que está hecho desde la perspectiva del observador privilegiado. Para el observador en movimiento, los caminos que recorren los rayos de luz son iguales. Sí, es cierto que el observador en movimiento, una vez conocida su velocidad v, podría asumir ese argumento y justificar la diferencia de tiempos de vuelo de los fotones como diferencia de caminos. Pero, sinceramente, creo que eso complica más las cosas que el hecho de prescindir de la constancia de c.

Ahora mismo me pregunto si has calculado el ratio entre los espacios recorridos y los tiempos empleados, por la luz en ambos viajes? Yo no lo hice, pero intuyo que me sale c en ambos viajes, así que espero puedas demostrarme sencillamente lo contrario.

Espero que me instruyas o demuestres como medir la velocidad de la luz en cada sentido, y espero que concluyas como presupones ,que sea distinta de c en cada caso, claro.

Hasta tanto me quedo con lo que creo hoy. Re-leeré tus diagramas y miraré si hay algo que pasé por alto.

OK, voy a intentar explicar cómo se mide la velocidad de la luz en un único sentido y mostrar que el argumento de los distintos caminos no es válido.

Primero asumimos que existe un observador privilegiado, A, que también está afectado por la curvatura del universo, y para el que la velocidad de la luz en ambos sentidos es c (supondremos para él que su velocidad es v = 0). Para medir esa velocidad lanza rayos de luz en direcciones opuestas y obtiene siempre tiempos de vuelo idénticos independientemente del sentido de envío. Para hacer esta medida, el observador A únicamente ha necesitado de un reloj para medir tiempos.

Ahora pasaremos a analizar las medidas locales de c hechas por A. Para ello, A tiene que construir un sistema de referencia que, de acuerdo con Einstein, significa poner relojes a distintas distancias y sincronizarlos todos de acuerdo a su criterio. Por tanto, cuando se dice que un evento (la recepción de un rayo, por ejemplo) ha ocurrido en el punto x = 2 y t = 5, eso significará que el reloj situado en la posición 2 marcaba 5 cuando cayó el rayo:


Una vez hecho lo anterior, y puesto que el criterio de sincronización de Einstein establece por definición que la velocidad de la luz es c en cualquier dirección, parece obvio que toda medida local de dicha velocidad que haga A obtendrá, obviamente, el valor c. Pero ¿qué particularidad tiene A? Pues que también su medida global usando un único reloj da como resultado c.

Ahora pasaremos a analizar lo que ocurre para cualquier otro observador en movimiento, B, con respecto a este observador privilegiado, A, es decir, con una v <> 0 hacia la derecha, y empezaremos analizando sus medidas locales.

B, siguiendo los criterios de Einstein, ha construido su sistema de referencia y, por tanto, puede realizar medidas locales de la velocidad de la luz en cada sentido. Para ello sólo tiene que colocar a otro observador en una posición x' con su reloj sincronizado y medir, obteniendo siempre c. Y dicha medida la puede hacer para todo observador situado en $x' \epsilon [0, L')$ si emite el rayo hacia la derecha o, de igual forma, para cualquier observador en $x' \epsilon (-L', 0]$ y emite el rayo hacia la izquierda.

Para intentar visualizarlo, imaginemos que el observador en x' se puede aproximar tanto como se quiera al observador en el origen de coordenadas:

Una nota aclaratoria sobre lo anterior. El definir la coordenada $x' \epsilon [0, L')$ significa que B sólo puede emitir pulsos hacia su derecha y, por tanto, es en esa dirección en la que ha enviado los pulsos de luz para sincronizar a todos los relojes en su sistema de referencia (de ahí la inclusión de la pared). Y de igual forma, el definir $x' \epsilon (-L', 0]$ no significa otra cosa que sólo se pueden emitir pulsos hacia la izquierda. Se podría definir la coordenada $x' \epsilon (-L'/2, L'/2]$ y permitir la emisión de rayo en ambos sentidos, pero eso complicaría el análisis y al final el resultado sería el mismo.

Entonces, llegado a este punto, deberíamos coincidir en que también para B, la velocidad de la luz es c para toda medida que haga en su universo. Y en ningún caso B observa que los caminos recorridos por los rayos hacia la izquierda o la derecha sean distintos, como tampoco observa o mide ningún efecto de la curvatura en la velocidad de la luz, independientemente de cómo de local sea la medida.

Pero entonces ¿dónde está la peculiaridad de este observador en movimiento B? Pues que si realiza la medida de manera global usando sólo un reloj en el origen de coordenadas, es decir, eliminando el muro y dejando que el rayo enviado regrese y lo alcance, entonces, a diferencia de lo que pasaba con el observador privilegiado A, B ahora no medirá c sino que obtendrá una velocidad superior a c para el pulso enviado a su izquierda, e inferior a c para el pulso que mandó hacia su derecha (en su dirección de movimiento). B medirá tiempos distintos en la recepción de los pulsos, tal como mostraba en mi diagrama:


Y con esto, creo que se puede comprobar que B obtiene medidas distintas de c y que el argumento de las diferencias de camino no tienen sentido.

Espero tus comentarios.

Gracias y saludos.

Gabriel.

[Richard R Richard]

En ese desafío lanzado a probarlo, no sé si he de cantar victoria, o si he caído en la ratonera...,de lo que no estoy seguro es si se pueden sacar tan rápido conclusiones tan obvias en un espaciotiempo inhomogéneo y no isótropo, para un observador en movimiento, ya que para éste es el universo el que se mueve en sentido contrario y no él.

[javisot20]

Por consensuar, ¿qué entendemos por medir la velocidad de la luz en un sentido?

El caso del universo cerrado y estático con un observador que emite un pulso dando toda la vuelta no es medir la velocidad de la luz en un sentido al intervenir la curvatura. En un espacio-tiempo plano y habiendo postulado previamente que existe una velocidad máxima constante que nada salvo la luz puede alcanzar, si emito un pulso puedo despedirme de él para siempre.

Podemos poner un detector en otro punto de dicho espacio-tiempo plano pero no soluciona nada ya que deberíamos emitir pulsos al origen para informarles del resultado, viaje de vuelta.


Al final un postulado no se demuestra o refuta, se usa o no se usa. Buscar una refutación o demostración total del postulado en la misma construcción realizada a partir del postulado es perder el tiempo. El vídeo de Veritasium me parece correcto, pero no transgresor.


(Por cierto Gabriel, no te frustres, es genial que propongas debate sobre la relatividad pero es un tema complejo tanto de entender como de explicar, saludos)

Ahora mismo me pregunto si has calculado el ratio entre los espacios recorridos y los tiempos empleados, por la luz en ambos viajes? Yo no lo hice, pero intuyo que me sale c en ambos viajes, así que espero puedas demostrarme sencillamente lo contrario.

Hace algunos comentarios me dió la sensación que Gabriel se centra demasiado en analizar los tiempos dejando de lado al espacio.

Por ejemplo, la paradoja de Aquiles y la tortuga desaparece al tener en cuenta los tiempos que tardan en recorrer tales distancias y no solo las distancias. Intuyo que Gabriel no termina de librarse de las conclusiones paradójicas del caso de los gemelos por algo similar

[Richard R Richard]

Ese párrafo, junto a los anteriores del artículo de Einstein son, en mi opinión, fundamentales para entender cómo se establece un sistema de referencia y cómo se sincronizan los relojes. El hecho de que se establezca por definición la constancia de c en cualquier sentido es consecuencia de que no es posible medir su valor, eso es lo transgresor del vídeo de Veritasium. Sólo hay constancia experimental de medidas en caminos de ida y vuelta. Por tanto, cualquier afirmación que sostenga que la velocidad de la luz en un sentido es c no es estrictamente cierta porque no se puede demostrar. Dependerá del criterio de sincronización que se use.

Bien, pero tampoco puedes decir que no es cierto ya que tampoco tienes forma de comprobarlo, cualquiera de todos los experimentos que han avalado a la TRE y a la TRG (una lista Por aquí) durante los últimos 100 años se basa en la velocidad en los dos sentidos es la misma ,c, y el video deja claro que existen infinitas combinaciones de velocidades de ida y vuelta diferentes y que no hay forma de determinar cual es la que en realidad sucede, es decir que no hay forma de individualizar experimentalmente, los resultados experimentales de todas coinciden. Como corolario no es tan importante la velocidad de la luz como valor numérico, sino que lo que es importante es que sea el mismo valor para todos los observadores inerciales a cualquier velocidad y en cualquier dirección en un sentido y un mismo valor diferente para los sentidos opuestos, aplicando la navaja de Ockham ya puedes predecir lo que sucede.

¿Pero qué ocurre con un universo cerrado y estático? Pues que debido a su geometría ahora ya sí es posible medir la velocidad de la luz en ambos sentidos.

Me has clavado la intriga, como es eso posible?, ojo con esbozar nuevas teorías explícamelo basado en TR o alguna teoría revisada por pares, si ya lo hiciste me lo he perdido...

Y, además, excepto para el observador privilegiado que siempre medirá c, para el resto de observadores eso ya no será cierto, ya que, como demostré con mi diagrama, los tiempos de vuelo en un sentido y en otro son distintos. carroza aceptó esa diferencia de tiempos pero se veía obligado a argumentar diferencias de caminos para salvar la constancia de c.

He leído la argumentación de carroza, no creo se refiera a que localmente un observador mida un valor diferente en un camino de ida y vuelta en geometría local, lo repasaré, no es mi idea argumentar por alguien que tiene mas conocimiento que yo, ni escribir palabras que no tipeó, allí lo dejo.

• Un observador estático, el que creo dices es el privilegiado mide c. Su métrica es la que desarrollo Javier
• Un observador móvil, localmente debe medir c, pero en el espacio global, la métrica tiene rotación, es decir algunas propiedades conmutativas de los tensores ya no ocurren(hay torsión) y a la vez hay que observar que hay contracción de longitudes por lo que el observador en movimiento su métrica dará un universo con un radio menor que el estático.

Creo que estás suponiendo que si emite luz a favor de su velocidad entonces tardará más en llegarle por la espalda , que lanzandola por la espalda y le llegue de frente, pero tambien habrá recorrido más espacio al salir por el frente que saliendo por espalda, .... No se si ese era el argumento de carroza, pero si es el mio.

Ahora mismo me pregunto si has calculado el ratio entre los espacios recorridos y los tiempos empleados, por la luz en ambos viajes? Yo no lo hice, pero intuyo que me sale c en ambos viajes, así que espero puedas demostrarme sencillamente lo contrario.

Efectivamente, es lo que sostengo. Como en este universo se puede medir exactamente la velocidad de la luz en cada sentido y puesto que ambos valores no son iguales, entonces es posible deducir o establecer un criterio de sincronización distinto. Si ese criterio se aplica localmente o universalmente, la velocidad de la luz no será constante. Si se mantiene el criterio de sincronización de Einstein localmente (no es posible ampliarlo a nivel universal) entonces sí, siempre se medirá c.

Espero que me instruyas o demuestres como medir la velocidad de la luz en cada sentido, y espero que concluyas como presupones ,que sea distinta de c en cada caso, claro.

Hasta tanto me quedo con lo que creo hoy. Re-leeré tus diagramas y miraré si hay algo que pasé por alto.

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

...quizá te frustre el hecho de que no te se explicar mejor la respuesta , pero que te la he dado, te la he dado. Precisamente aquí.

No, creo que es problema mío, no consigo explicarme bien. Cuando hablaba de no recibir respuestas no me refería a ti. Al contrario, aquí sigues intentando ayudarme, lo que te honra y agradezco.

Para no seguir enredando, te contesto sólo a lo que considero más importante.

A ver , el tema de cómo definir un sistema de referencia, y si es posible medir la velocidad de la luz en un solo sentido juraría se debatió en el foro, El video lo vi en original inglés y luego su versión en español, no lo he encontrado en el foro para darte el link, pero no viene a cuento, la TRE y la TRG se basan en el hecho que es suficiente para sincronizar localmente los relojes basta que el ratio entre la distancia de separación sobre la semisuma de la tiempos de ida y vuelta es siempre la velocidad de la luz y es constante, cosa que deberías recordar ya que el mismo video te muestra los papers originales de A Einstein donde lo da por principio aceptado.

Lo que comentas es que la velocidad la luz en un trayecto de ida y vuelta es, como indica Einstein, c. Es lo único que hay comprobado experimentalmente. Sin embargo, para el trayecto de un sentido Einstein dice cuando establece su criterio de sincronización que, por definición, se tomará también c:

Sin embargo, sin especificaciones adicionales no es posible comparar cronológicamente el evento en A con el evento en B; hasta ahora hemos definido un "tiempo A" y un "tiempo B", pero no un "tiempo" común para A y B. Este último tiempo se puede definir estableciendo por definición que el "tiempo" que necesite la luz para viajar de A a B sea igual al "tiempo" para pasar de B a A.

Ese párrafo, junto a los anteriores del artículo de Einstein son, en mi opinión, fundamentales para entender cómo se establece un sistema de referencia y cómo se sincronizan los relojes. El hecho de que se establezca por definición la constancia de c en cualquier sentido es consecuencia de que no es posible medir su valor, eso es lo transgresor del vídeo de Veritasium. Sólo hay constancia experimental de medidas en caminos de ida y vuelta. Por tanto, cualquier afirmación que sostenga que la velocidad de la luz en un sentido es c no es estrictamente cierta porque no se puede demostrar. Dependerá del criterio de sincronización que se use.

¿Pero qué ocurre con un universo cerrado y estático? Pues que debido a su geometría ahora ya sí es posible medir la velocidad de la luz en ambos sentidos. Y, además, excepto para el observador privilegiado que siempre medirá c, para el resto de observadores eso ya no será cierto, ya que, como demostré con mi diagrama, los tiempos de vuelo en un sentido y en otro son distintos. carroza aceptó esa diferencia de tiempos pero se veía obligado a argumentar diferencias de caminos para salvar la constancia de c.

Si no aceptas que localmente cada observador mide c para la velocidad de la luz mida como la mida, y que las leyes de la física son iguales para todos los observadores inerciales, estamos hablando de otra cosa y no de relatividad.

Efectivamente, es lo que sostengo. Como en este universo se puede medir exactamente la velocidad de la luz en cada sentido y puesto que ambos valores no son iguales, entonces es posible deducir o establecer un criterio de sincronización distinto. Si ese criterio se aplica localmente o universalmente, la velocidad de la luz no será constante. Si se mantiene el criterio de sincronización de Einstein localmente (no es posible ampliarlo a nivel universal) entonces sí, siempre se medirá c.

A ver , si lo reitero y nos ponemos de acuerdo, o soy yo solo que lo ve así y la comunidad no se expresa.

en el espacio de Minkowsky k mide que el tiempo de j es menor que el propio, Dilatación temporal

No importa Richard, no es eso lo que planteo en mi pregunta. Gracias de todas formas.

Saludos.

Gabriel