Transformaciones de Lorentz pasivas y activas en Teoría Cuántica de Campos

[Vitor]

Añado otro mensaje para decir que he visto una expresión en el libro de Peskin y Schroeder (que has apuntado en el otro hilo que creé sobre no unitariedad y espinores), en la cual la ley de transformación $W^{-1}(\Lambda) V_{\mu} W(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}V_{\nu}$ que decíamos antes se escribe como $\Lambda^{-1}_{1/2} \gamma_{\mu} \Lambda_{1/2} = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\gamma_{\nu}$ para las matrices de Dirac, donde $\Lambda_{1/2}$ se dice que es una matriz en la representación de Dirac. Entonces ya con esto vuelvo a tener serias dudas a propósito de lo que decía en mi mensaje #13, porque estoy entendiendo que en este libro están precisamente diciendo que el $W(\Lambda)$ para las matrices de Dirac es una matriz $\Lambda_{1/2}$ en la representación de Dirac, así que supongo que si $|p, \pm j\rangle$ es un estado que no sea de Dirac entonces su $U(\Lambda)$ no va a ser como la $W(\Lambda)=\Lambda_{1/2}$ de la matriz de Dirac (o de la cuadricorriente, que es el objeto que aparece en el bracket del hilo) y, por tanto, no se podría hacer la identificación $U(\Lambda)=W(\Lambda)$ que decíamos antes.

¿Mi confusión puede ser quizás que los estados $|p, \pm j\rangle$ y $\langle p,\pm j|$ por definición deben ser siempre estados de Dirac (de forma que $j$ debe tomar únicamente valores semienteros), por el mero hecho de aparecer en el bracket $\langle p,\pm j| J_\mu |p, \pm j\rangle$? Y eso significaría que su operadores de transformación $U(\Lambda)$ siempre van a ser como la matriz $\Lambda_{1/2}$, de manera que la identificación que preguntaba anteriormente sería trivial...

[Weip]

Déjame volver un paso atrás porque las dudas que planteas no tienen que ver tanto con teoría cuántica de campos per se si no con teoría de representaciones, que es la herramienta que estamos usando contínuamente sin decirlo. Es relevante porque el quid de la cuestión está ahí.

Cuando tu tienes un grupo de Lie de matrices, tienes una representación fundamental que es la propia definición del grupo. En el caso del grupo de Lorentz la representación fundamental actua sobre cuadrivectores de manera natural porque las transformaciones de Lorentz se definen como matrices de orden 4 que preservan la métrica de Minkowski, y los cuadrivectores son vectores de 4 componentes en el espaciotiempo, así que perfecto.

Aun así en cuántica los objetos más naturales son los estados y los operadores. Surge de manera natural la cuestión de cómo actúa una transformación de Lorentz sobre uno de estos objetos. Multiplicando por una matriz de orden 4 no tendría sentido con un estado por ejemplo, es un vector en el espacio de Hilbert, no del espaciotiempo. Esto se resuelve montando una aplicación $\rho:G\times H\to H$ donde $G$ es el grupo y $H$ el espacio de Hilbert que cumple una serie de propiedades. Esta aplicación es una representación y en nuestro caso lo que hace es coger una transformación de Lorentz, un estado, y devuelve otro estado. Fíjate que es una función de dos variables. Fijada una base del espacio de Hilbert, la aplicación $\rho$ es una matriz unitaria $U(\Lambda)$ que actua sobre un estado de momento $p$ a través de $U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$.

En este punto queremos hacer teoría cuántica de campos, así que vamos a definir lo que es un campo: a cada punto del espaciotiempo $x$ asignamos un operador $\phi(x)$ que se transforma bajo el grupo de Lorentz como $W(\Lambda)\phi^{\alpha}(x)W(\Lambda)^{-1}=D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}\phi^{\beta}(\Lambda x)$. Aquí el campo es totalmente genérico y de hecho pasa lo mismo con todos los operadores. En particular, observa que $W$ y $D$ son objetos distintos: $W(\Lambda)$ es un operador que representa $\Lambda$ en el espacio donde está definido $\phi$, mientras que $D$ es una representación del grupo de Lorentz. Eso significa que teniendo el mismo $W$, $D$ cambia dependiendo del objeto en el que actue. Anteriormente dijimos que $D$ tiene dos variables, hay que especificar la transformación de Lorentz $\Lambda$, pero también hay que especificar sobre qué objeto actua. Arriba, actua sobre un campo. Pero si de repente hubiera un estado como en el párrafo anterior, $D$ ya sería distinta con la misma $W$, porque le estamos cambiando uno de los argumentos a la función. Es como tener una función $f=f(x,y)$ de dos variables siendo $x$ una transformación de Lorentz e $y$ un cuadrivector, un estado... lo que sea. Entonces $f(x,1)$ y $f(x,2)$ son distintos si $1$ es un cuadrivector e $y$ es un estado. La notación que usamos realmente en teoría cuántica de campos es más liada porque escribiríamos que $f(x)1$ y $f(x)2$ son distintos. Esta explicación es ciertamente limitada pero creo que puede ser esclarecedor.

Un ejemplo de transformación de Lorentz concreta es la rotación que encontraste en el tutorial. Si aplicamos una rotación $|p,\pm j\rangle \to e^{\pm i\phi j}|p,\pm j\rangle$ entonces $e^{\pm 2i\phi j}$ define un operador unitario que si actua sobre la corriente resulta en $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)$, mientras que si actua sobre el tensor de energía momento suelta $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)\Lambda^{\nu}_{\beta}(\phi)$.

Finalmente comentar que todas estas vueltas son muy tautológicas porque en el fondo todo esto funciona porque lo hemos definido así. No lo hemos definido de otra forma porque la teoría no sería consistente y no podríamos calcular valores esperados o funciones de correlación en general.

PD: Una última pregunta muy rápida que tengo es si sabes también si el objeto inicial $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ que mencioné en el hilo (es decir, el bracket entre dos estados distintos con una cuadricorriente en el medio) es un objeto importante en Teoría Cuántica de Campos o no, porque por ejemplo si en lugar de haber una cuadricorriente en el medio hubiese un Hamiltoniano sí que sé que el objeto sería importante, pero al estar solamente la cuadricorriente no estoy seguro de qué papel puede tomar generalmente un objeto así dentro de la teoría (o quizás puede relacionarse con el objeto del Hamiltoniano en interacción y tener ahí cierta importancia, no sé).

El objeto $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ es ciertamente importante. Para demostrar el teorema de Weinberg-Witten claramente sí, y fuera de este contexto, al final no deja de ser una función de correlación donde la corriente crea y destruye partículas: de igual forma que el "objetivo de la mecánica cuántica" es resolver la ecuación de Schrödinger, el "objetivo de la teoría cuántica de campos", si es que le podemos llamar así, es calcular estas funciones de correlación. Con una corriente, dos, tres, cuatro o las que sean, pero son los objetos más importantes de todos. De hecho están relacionados con los típicos blops que se encuentran en los diagramas de Feynman: cuando nos quitamos de enmedio los estados inicial y final de un proceso, lo que queda, que es toda la teoría contando contribuciones perturbativas (y no perturbativas que no sabemos calcular), están incluidas en objetos como $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ quitando estado final e inicial por el estado de vacío.

Espero que haya aclarado un poco mejor las dudas.

PD: No tengo tanto tiempo como me gustaría para responder los mensajes así que iré contestando poco a poco, lo digo porque el otro hilo lo dejaré para otro día.

[Vitor]

Déjame volver un paso atrás porque las dudas que planteas no tienen que ver tanto con teoría cuántica de campos per se si no con teoría de representaciones, que es la herramienta que estamos usando contínuamente sin decirlo. Es relevante porque el quid de la cuestión está ahí.

Cuando tu tienes un grupo de Lie de matrices, tienes una representación fundamental que es la propia definición del grupo. En el caso del grupo de Lorentz la representación fundamental actua sobre cuadrivectores de manera natural porque las transformaciones de Lorentz se definen como matrices de orden 4 que preservan la métrica de Minkowski, y los cuadrivectores son vectores de 4 componentes en el espaciotiempo, así que perfecto.

Aun así en cuántica los objetos más naturales son los estados y los operadores. Surge de manera natural la cuestión de cómo actúa una transformación de Lorentz sobre uno de estos objetos. Multiplicando por una matriz de orden 4 no tendría sentido con un estado por ejemplo, es un vector en el espacio de Hilbert, no del espaciotiempo. Esto se resuelve montando una aplicación $\rho:G\times H\to H$ donde $G$ es el grupo y $H$ el espacio de Hilbert que cumple una serie de propiedades. Esta aplicación es una representación y en nuestro caso lo que hace es coger una transformación de Lorentz, un estado, y devuelve otro estado. Fíjate que es una función de dos variables. Fijada una base del espacio de Hilbert, la aplicación $\rho$ es una matriz unitaria $U(\Lambda)$ que actua sobre un estado de momento $p$ a través de $U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$.

En este punto queremos hacer teoría cuántica de campos, así que vamos a definir lo que es un campo: a cada punto del espaciotiempo $x$ asignamos un operador $\phi(x)$ que se transforma bajo el grupo de Lorentz como $W(\Lambda)\phi^{\alpha}(x)W(\Lambda)^{-1}=D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}\phi^{\beta}(\Lambda x)$. Aquí el campo es totalmente genérico y de hecho pasa lo mismo con todos los operadores. En particular, observa que $W$ y $D$ son objetos distintos: $W(\Lambda)$ es un operador que representa $\Lambda$ en el espacio donde está definido $\phi$, mientras que $D$ es una representación del grupo de Lorentz. Eso significa que teniendo el mismo $W$, $D$ cambia dependiendo del objeto en el que actue. Anteriormente dijimos que $D$ tiene dos variables, hay que especificar la transformación de Lorentz $\Lambda$, pero también hay que especificar sobre qué objeto actua. Arriba, actua sobre un campo. Pero si de repente hubiera un estado como en el párrafo anterior, $D$ ya sería distinta con la misma $W$, porque le estamos cambiando uno de los argumentos a la función. Es como tener una función $f=f(x,y)$ de dos variables siendo $x$ una transformación de Lorentz e $y$ un cuadrivector, un estado... lo que sea. Entonces $f(x,1)$ y $f(x,2)$ son distintos si $1$ es un cuadrivector e $y$ es un estado. La notación que usamos realmente en teoría cuántica de campos es más liada porque escribiríamos que $f(x)1$ y $f(x)2$ son distintos. Esta explicación es ciertamente limitada pero creo que puede ser esclarecedor.

Un ejemplo de transformación de Lorentz concreta es la rotación que encontraste en el tutorial. Si aplicamos una rotación $|p,\pm j\rangle \to e^{\pm i\phi j}|p,\pm j\rangle$ entonces $e^{\pm 2i\phi j}$ define un operador unitario que si actua sobre la corriente resulta en $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)$, mientras que si actua sobre el tensor de energía momento suelta $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)\Lambda^{\nu}_{\beta}(\phi)$.

Finalmente comentar que todas estas vueltas son muy tautológicas porque en el fondo todo esto funciona porque lo hemos definido así. No lo hemos definido de otra forma porque la teoría no sería consistente y no podríamos calcular valores esperados o funciones de correlación en general.

Vaya, muchas gracias por la clase magistral de representaciones. La duda que estaba preguntando anteriormente (que creo que no se responde directamente con tu mensaje) es si $W(\Lambda)$ cambia o no según el objeto sobre el que actúe.

Estoy entendiendo por todos tus mensajes que tu respuesta es que no cambia (y de ahí que el operador que sale en el tutorial transformando inicialmente los estados lo agrupes luego con el operador de corriente, como se hace en el tutorial), pero precisamente lo que estoy preguntando es por qué justamente ese operador $W(\Lambda)$ no cambia. Siguiendo tu notación, ¿sólo $D(\Lambda^{-1})$ hace referencia a una representación del grupo de Lorentz que como tal cambia según el objeto sobre el que actúe? ¿$W(\Lambda)$ no hace referencia a una representación del grupo de Lorentz pero en el espacio de Hilbert y no cambia según el tipo de operador o estado sobre el que actúe? Ésta es mi pregunta.

El objeto $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ es ciertamente importante. Para demostrar el teorema de Weinberg-Witten claramente sí, y fuera de este contexto, al final no deja de ser una función de correlación donde la corriente crea y destruye partículas: de igual forma que el "objetivo de la mecánica cuántica" es resolver la ecuación de Schrödinger, el "objetivo de la teoría cuántica de campos", si es que le podemos llamar así, es calcular estas funciones de correlación. Con una corriente, dos, tres, cuatro o las que sean, pero son los objetos más importantes de todos. De hecho están relacionados con los típicos blops que se encuentran en los diagramas de Feynman: cuando nos quitamos de enmedio los estados inicial y final de un proceso, lo que queda, que es toda la teoría contando contribuciones perturbativas (y no perturbativas que no sabemos calcular), están incluidas en objetos como $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ quitando estado final e inicial por el estado de vacío.

Espero que haya aclarado un poco mejor las dudas.

PD: No tengo tanto tiempo como me gustaría para responder los mensajes así que iré contestando poco a poco, lo digo porque el otro hilo lo dejaré para otro día.

Muchas gracias por esta otra respuesta. No sé qué son los blops, pero supongo que con mi nivel de comprensión más básico basta con saber que $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ aparece en los diagramas de Feynman y que como tal debe ser consistente para que la teoría basada en estos diagramas tenga sentido...

[Weip]

Estoy entendiendo por todos tus mensajes que tu respuesta es que no cambia (y de ahí que el operador que sale en el tutorial transformando inicialmente los estados lo agrupes luego con el operador de corriente, como se hace en el tutorial), pero precisamente lo que estoy preguntando es por qué justamente ese operador $W(\Lambda)$ no cambia. Siguiendo tu notación, ¿sólo $D(\Lambda^{-1})$ hace referencia a una representación del grupo de Lorentz que como tal cambia según el objeto sobre el que actúe? ¿$W(\Lambda)$ no hace referencia a una representación del grupo de Lorentz pero en el espacio de Hilbert y no cambia según el tipo de operador o estado sobre el que actúe? Ésta es mi pregunta.

Pongámoslo así: $D(\Lambda^{-1})$ cambiará dependiendo de los índices del objeto que se encuentre. En el caso de un cuadrivector, será una matriz de Lorentz (representación fundamental). $W(\Lambda)$ no cambia porque una corriente $J_{\mu}$, un campo escalar $\phi(x)$ o un operador en general $\mathcal{O}(x)$ tienen todos una cosa en común: actuan sobre el espacio de Hilbert del sistema que estamos estudiando. Por tanto, $W(\Lambda)$ como operador unitario no necesita cambiar, pues todos estos objetos tienen la misma naturaleza, son operadores. Esto no pasa con $D(\Lambda^{-1})$ porque no es lo mismo tener un cuadrivector, que un tensor de orden dos, que un espinor. En este sentido son objetos de distinta naturaleza y $D(\Lambda^{-1})$ debe cambiar necesariamente.

Muchas gracias por esta otra respuesta. No sé qué son los blops, pero supongo que con mi nivel de comprensión más básico basta con saber que $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ aparece en los diagramas de Feynman y que como tal debe ser consistente para que la teoría basada en estos diagramas tenga sentido...

Un blop es esta bola gris:

En este caso, tenemos la autoenergía de un quark, y el blop es la suma de diagramas donde el quark emite un gluón y lo reabsorbe de todas las maneras posibles, incluyendo loops. Al final todos estos elementos de matriz son cosas del estilo $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ donde $\mathcal{O}$ es un operador de la teoría.

[Vitor]

Pongámoslo así: $D(\Lambda^{-1})$ cambiará dependiendo de los índices del objeto que se encuentre. En el caso de un cuadrivector, será una matriz de Lorentz (representación fundamental). $W(\Lambda)$ no cambia porque una corriente $J_{\mu}$, un campo escalar $\phi(x)$ o un operador en general $\mathcal{O}(x)$ tienen todos una cosa en común: actuan sobre el espacio de Hilbert del sistema que estamos estudiando. Por tanto, $W(\Lambda)$ como operador unitario no necesita cambiar, pues todos estos objetos tienen la misma naturaleza, son operadores. Esto no pasa con $D(\Lambda^{-1})$ porque no es lo mismo tener un cuadrivector, que un tensor de orden dos, que un espinor. En este sentido son objetos de distinta naturaleza y $D(\Lambda^{-1})$ debe cambiar necesariamente.

Pero si por ejemplo el operador de campo en cuestión es un operador espinor $\psi$ entonces el operador $W(\Lambda)$ que actúa sobre él como $W^{-1}(\Lambda)\psi W(\Lambda)$ no es unitario, mientras que para un estado por ejemplo también espinorial $|p,s \rangle$ el operador $U(\Lambda)$ que actúa sobre él como $U(\Lambda)|p,s \rangle$ sí que es un operador unitario, así que yo veo claramente que ambas cosas son diferentes (pero en el tutorial y en tus mensajes los dos operadores se tratan como si fueran completamente iguales y se agrupan indistintamente con estados y con operadores de campo como la corriente, aunque esto no lo veo justificado por ningún sitio sino que se da por supuesto, pero usando mi ejemplo yo diría que entonces es incorrecto).

¿Por qué pasa esto?

Un blop es esta bola gris:

En este caso, tenemos la autoenergía de un quark, y el blop es la suma de diagramas donde el quark emite un gluón y lo reabsorbe de todas las maneras posibles, incluyendo loops. Al final todos estos elementos de matriz son cosas del estilo $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ donde $\mathcal{O}$ es un operador de la teoría.

Ah, muchas gracias por la explicación. Entonces, ¿hay teorías donde los objetos $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ de hecho pueden ser $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (con los estados $|p\rangle$ y $\langle p'|$ teniendo distintos momentos) como el objeto del hilo o tener alguna relación con $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (de forma que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ sea literalmente importante en la teoría porque al menos contribuye a esos blops)?

[Weip]

Pero si por ejemplo el operador de campo en cuestión es un operador espinor $\psi$ entonces el operador $W(\Lambda)$ que actúa sobre él como $W^{-1}(\Lambda)\psi W(\Lambda)$ no es unitario, mientras que para un estado por ejemplo también espinorial $|p,s \rangle$ el operador $U(\Lambda)$ que actúa sobre él como $U(\Lambda)|p,s \rangle$ sí que es un operador unitario, así que yo veo claramente que ambas cosas son diferentes (pero en el tutorial y en tus mensajes los dos operadores se tratan como si fueran completamente iguales y se agrupan indistintamente con estados y con operadores de campo como la corriente, aunque esto no lo veo justificado por ningún sitio sino que se da por supuesto, pero usando mi ejemplo yo diría que entonces es incorrecto).

Aún en el caso de tener espinores, $W(\Lambda)$ es unitario. Lo que dijimos que no era unitario es la matriz $\Lambda_{1/2}$ con la que transforma el espinor.

Ah, muchas gracias por la explicación. Entonces, ¿hay teorías donde los objetos $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ de hecho pueden ser $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (con los estados $|p\rangle$ y $\langle p'|$ teniendo distintos momentos) como el objeto del hilo o tener alguna relación con $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (de forma que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ sea literalmente importante en la teoría porque al menos contribuye a esos blops)?

Sí, $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ aparece por ejemplo cuando calculas los factores de forma del protón siendo $J_{\mu}$ una corriente electromagnética, de manera que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ contiene información muy importante sobre la estructura interna del protón.