Transformaciones de Lorentz pasivas y activas en Teoría Cuántica de Campos

[Vitor]

Añado otro mensaje para decir que he visto una expresión en el libro de Peskin y Schroeder (que has apuntado en el otro hilo que creé sobre no unitariedad y espinores), en la cual la ley de transformación $W^{-1}(\Lambda) V_{\mu} W(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}V_{\nu}$ que decíamos antes se escribe como $\Lambda^{-1}_{1/2} \gamma_{\mu} \Lambda_{1/2} = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\gamma_{\nu}$ para las matrices de Dirac, donde $\Lambda_{1/2}$ se dice que es una matriz en la representación de Dirac. Entonces ya con esto vuelvo a tener serias dudas a propósito de lo que decía en mi mensaje #13, porque estoy entendiendo que en este libro están precisamente diciendo que el $W(\Lambda)$ para las matrices de Dirac es una matriz $\Lambda_{1/2}$ en la representación de Dirac, así que supongo que si $|p, \pm j\rangle$ es un estado que no sea de Dirac entonces su $U(\Lambda)$ no va a ser como la $W(\Lambda)=\Lambda_{1/2}$ de la matriz de Dirac (o de la cuadricorriente, que es el objeto que aparece en el bracket del hilo) y, por tanto, no se podría hacer la identificación $U(\Lambda)=W(\Lambda)$ que decíamos antes.

¿Mi confusión puede ser quizás que los estados $|p, \pm j\rangle$ y $\langle p,\pm j|$ por definición deben ser siempre estados de Dirac (de forma que $j$ debe tomar únicamente valores semienteros), por el mero hecho de aparecer en el bracket $\langle p,\pm j| J_\mu |p, \pm j\rangle$? Y eso significaría que su operadores de transformación $U(\Lambda)$ siempre van a ser como la matriz $\Lambda_{1/2}$, de manera que la identificación que preguntaba anteriormente sería trivial...

[Weip]

Déjame volver un paso atrás porque las dudas que planteas no tienen que ver tanto con teoría cuántica de campos per se si no con teoría de representaciones, que es la herramienta que estamos usando contínuamente sin decirlo. Es relevante porque el quid de la cuestión está ahí.

Cuando tu tienes un grupo de Lie de matrices, tienes una representación fundamental que es la propia definición del grupo. En el caso del grupo de Lorentz la representación fundamental actua sobre cuadrivectores de manera natural porque las transformaciones de Lorentz se definen como matrices de orden 4 que preservan la métrica de Minkowski, y los cuadrivectores son vectores de 4 componentes en el espaciotiempo, así que perfecto.

Aun así en cuántica los objetos más naturales son los estados y los operadores. Surge de manera natural la cuestión de cómo actúa una transformación de Lorentz sobre uno de estos objetos. Multiplicando por una matriz de orden 4 no tendría sentido con un estado por ejemplo, es un vector en el espacio de Hilbert, no del espaciotiempo. Esto se resuelve montando una aplicación $\rho:G\times H\to H$ donde $G$ es el grupo y $H$ el espacio de Hilbert que cumple una serie de propiedades. Esta aplicación es una representación y en nuestro caso lo que hace es coger una transformación de Lorentz, un estado, y devuelve otro estado. Fíjate que es una función de dos variables. Fijada una base del espacio de Hilbert, la aplicación $\rho$ es una matriz unitaria $U(\Lambda)$ que actua sobre un estado de momento $p$ a través de $U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$.

En este punto queremos hacer teoría cuántica de campos, así que vamos a definir lo que es un campo: a cada punto del espaciotiempo $x$ asignamos un operador $\phi(x)$ que se transforma bajo el grupo de Lorentz como $W(\Lambda)\phi^{\alpha}(x)W(\Lambda)^{-1}=D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}\phi^{\beta}(\Lambda x)$. Aquí el campo es totalmente genérico y de hecho pasa lo mismo con todos los operadores. En particular, observa que $W$ y $D$ son objetos distintos: $W(\Lambda)$ es un operador que representa $\Lambda$ en el espacio donde está definido $\phi$, mientras que $D$ es una representación del grupo de Lorentz. Eso significa que teniendo el mismo $W$, $D$ cambia dependiendo del objeto en el que actue. Anteriormente dijimos que $D$ tiene dos variables, hay que especificar la transformación de Lorentz $\Lambda$, pero también hay que especificar sobre qué objeto actua. Arriba, actua sobre un campo. Pero si de repente hubiera un estado como en el párrafo anterior, $D$ ya sería distinta con la misma $W$, porque le estamos cambiando uno de los argumentos a la función. Es como tener una función $f=f(x,y)$ de dos variables siendo $x$ una transformación de Lorentz e $y$ un cuadrivector, un estado... lo que sea. Entonces $f(x,1)$ y $f(x,2)$ son distintos si $1$ es un cuadrivector e $y$ es un estado. La notación que usamos realmente en teoría cuántica de campos es más liada porque escribiríamos que $f(x)1$ y $f(x)2$ son distintos. Esta explicación es ciertamente limitada pero creo que puede ser esclarecedor.

Un ejemplo de transformación de Lorentz concreta es la rotación que encontraste en el tutorial. Si aplicamos una rotación $|p,\pm j\rangle \to e^{\pm i\phi j}|p,\pm j\rangle$ entonces $e^{\pm 2i\phi j}$ define un operador unitario que si actua sobre la corriente resulta en $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)$, mientras que si actua sobre el tensor de energía momento suelta $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)\Lambda^{\nu}_{\beta}(\phi)$.

Finalmente comentar que todas estas vueltas son muy tautológicas porque en el fondo todo esto funciona porque lo hemos definido así. No lo hemos definido de otra forma porque la teoría no sería consistente y no podríamos calcular valores esperados o funciones de correlación en general.

PD: Una última pregunta muy rápida que tengo es si sabes también si el objeto inicial $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ que mencioné en el hilo (es decir, el bracket entre dos estados distintos con una cuadricorriente en el medio) es un objeto importante en Teoría Cuántica de Campos o no, porque por ejemplo si en lugar de haber una cuadricorriente en el medio hubiese un Hamiltoniano sí que sé que el objeto sería importante, pero al estar solamente la cuadricorriente no estoy seguro de qué papel puede tomar generalmente un objeto así dentro de la teoría (o quizás puede relacionarse con el objeto del Hamiltoniano en interacción y tener ahí cierta importancia, no sé).

El objeto $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ es ciertamente importante. Para demostrar el teorema de Weinberg-Witten claramente sí, y fuera de este contexto, al final no deja de ser una función de correlación donde la corriente crea y destruye partículas: de igual forma que el "objetivo de la mecánica cuántica" es resolver la ecuación de Schrödinger, el "objetivo de la teoría cuántica de campos", si es que le podemos llamar así, es calcular estas funciones de correlación. Con una corriente, dos, tres, cuatro o las que sean, pero son los objetos más importantes de todos. De hecho están relacionados con los típicos blops que se encuentran en los diagramas de Feynman: cuando nos quitamos de enmedio los estados inicial y final de un proceso, lo que queda, que es toda la teoría contando contribuciones perturbativas (y no perturbativas que no sabemos calcular), están incluidas en objetos como $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ quitando estado final e inicial por el estado de vacío.

Espero que haya aclarado un poco mejor las dudas.

PD: No tengo tanto tiempo como me gustaría para responder los mensajes así que iré contestando poco a poco, lo digo porque el otro hilo lo dejaré para otro día.

[Vitor]

Déjame volver un paso atrás porque las dudas que planteas no tienen que ver tanto con teoría cuántica de campos per se si no con teoría de representaciones, que es la herramienta que estamos usando contínuamente sin decirlo. Es relevante porque el quid de la cuestión está ahí.

Cuando tu tienes un grupo de Lie de matrices, tienes una representación fundamental que es la propia definición del grupo. En el caso del grupo de Lorentz la representación fundamental actua sobre cuadrivectores de manera natural porque las transformaciones de Lorentz se definen como matrices de orden 4 que preservan la métrica de Minkowski, y los cuadrivectores son vectores de 4 componentes en el espaciotiempo, así que perfecto.

Aun así en cuántica los objetos más naturales son los estados y los operadores. Surge de manera natural la cuestión de cómo actúa una transformación de Lorentz sobre uno de estos objetos. Multiplicando por una matriz de orden 4 no tendría sentido con un estado por ejemplo, es un vector en el espacio de Hilbert, no del espaciotiempo. Esto se resuelve montando una aplicación $\rho:G\times H\to H$ donde $G$ es el grupo y $H$ el espacio de Hilbert que cumple una serie de propiedades. Esta aplicación es una representación y en nuestro caso lo que hace es coger una transformación de Lorentz, un estado, y devuelve otro estado. Fíjate que es una función de dos variables. Fijada una base del espacio de Hilbert, la aplicación $\rho$ es una matriz unitaria $U(\Lambda)$ que actua sobre un estado de momento $p$ a través de $U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$.

En este punto queremos hacer teoría cuántica de campos, así que vamos a definir lo que es un campo: a cada punto del espaciotiempo $x$ asignamos un operador $\phi(x)$ que se transforma bajo el grupo de Lorentz como $W(\Lambda)\phi^{\alpha}(x)W(\Lambda)^{-1}=D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}\phi^{\beta}(\Lambda x)$. Aquí el campo es totalmente genérico y de hecho pasa lo mismo con todos los operadores. En particular, observa que $W$ y $D$ son objetos distintos: $W(\Lambda)$ es un operador que representa $\Lambda$ en el espacio donde está definido $\phi$, mientras que $D$ es una representación del grupo de Lorentz. Eso significa que teniendo el mismo $W$, $D$ cambia dependiendo del objeto en el que actue. Anteriormente dijimos que $D$ tiene dos variables, hay que especificar la transformación de Lorentz $\Lambda$, pero también hay que especificar sobre qué objeto actua. Arriba, actua sobre un campo. Pero si de repente hubiera un estado como en el párrafo anterior, $D$ ya sería distinta con la misma $W$, porque le estamos cambiando uno de los argumentos a la función. Es como tener una función $f=f(x,y)$ de dos variables siendo $x$ una transformación de Lorentz e $y$ un cuadrivector, un estado... lo que sea. Entonces $f(x,1)$ y $f(x,2)$ son distintos si $1$ es un cuadrivector e $y$ es un estado. La notación que usamos realmente en teoría cuántica de campos es más liada porque escribiríamos que $f(x)1$ y $f(x)2$ son distintos. Esta explicación es ciertamente limitada pero creo que puede ser esclarecedor.

Un ejemplo de transformación de Lorentz concreta es la rotación que encontraste en el tutorial. Si aplicamos una rotación $|p,\pm j\rangle \to e^{\pm i\phi j}|p,\pm j\rangle$ entonces $e^{\pm 2i\phi j}$ define un operador unitario que si actua sobre la corriente resulta en $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)$, mientras que si actua sobre el tensor de energía momento suelta $\Lambda^{\mu}_{\alpha}(\phi)\Lambda^{\nu}_{\beta}(\phi)$.

Finalmente comentar que todas estas vueltas son muy tautológicas porque en el fondo todo esto funciona porque lo hemos definido así. No lo hemos definido de otra forma porque la teoría no sería consistente y no podríamos calcular valores esperados o funciones de correlación en general.

Vaya, muchas gracias por la clase magistral de representaciones. La duda que estaba preguntando anteriormente (que creo que no se responde directamente con tu mensaje) es si $W(\Lambda)$ cambia o no según el objeto sobre el que actúe.

Estoy entendiendo por todos tus mensajes que tu respuesta es que no cambia (y de ahí que el operador que sale en el tutorial transformando inicialmente los estados lo agrupes luego con el operador de corriente, como se hace en el tutorial), pero precisamente lo que estoy preguntando es por qué justamente ese operador $W(\Lambda)$ no cambia. Siguiendo tu notación, ¿sólo $D(\Lambda^{-1})$ hace referencia a una representación del grupo de Lorentz que como tal cambia según el objeto sobre el que actúe? ¿$W(\Lambda)$ no hace referencia a una representación del grupo de Lorentz pero en el espacio de Hilbert y no cambia según el tipo de operador o estado sobre el que actúe? Ésta es mi pregunta.

El objeto $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ es ciertamente importante. Para demostrar el teorema de Weinberg-Witten claramente sí, y fuera de este contexto, al final no deja de ser una función de correlación donde la corriente crea y destruye partículas: de igual forma que el "objetivo de la mecánica cuántica" es resolver la ecuación de Schrödinger, el "objetivo de la teoría cuántica de campos", si es que le podemos llamar así, es calcular estas funciones de correlación. Con una corriente, dos, tres, cuatro o las que sean, pero son los objetos más importantes de todos. De hecho están relacionados con los típicos blops que se encuentran en los diagramas de Feynman: cuando nos quitamos de enmedio los estados inicial y final de un proceso, lo que queda, que es toda la teoría contando contribuciones perturbativas (y no perturbativas que no sabemos calcular), están incluidas en objetos como $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ quitando estado final e inicial por el estado de vacío.

Espero que haya aclarado un poco mejor las dudas.

PD: No tengo tanto tiempo como me gustaría para responder los mensajes así que iré contestando poco a poco, lo digo porque el otro hilo lo dejaré para otro día.

Muchas gracias por esta otra respuesta. No sé qué son los blops, pero supongo que con mi nivel de comprensión más básico basta con saber que $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ aparece en los diagramas de Feynman y que como tal debe ser consistente para que la teoría basada en estos diagramas tenga sentido...

[Weip]

Estoy entendiendo por todos tus mensajes que tu respuesta es que no cambia (y de ahí que el operador que sale en el tutorial transformando inicialmente los estados lo agrupes luego con el operador de corriente, como se hace en el tutorial), pero precisamente lo que estoy preguntando es por qué justamente ese operador $W(\Lambda)$ no cambia. Siguiendo tu notación, ¿sólo $D(\Lambda^{-1})$ hace referencia a una representación del grupo de Lorentz que como tal cambia según el objeto sobre el que actúe? ¿$W(\Lambda)$ no hace referencia a una representación del grupo de Lorentz pero en el espacio de Hilbert y no cambia según el tipo de operador o estado sobre el que actúe? Ésta es mi pregunta.

Pongámoslo así: $D(\Lambda^{-1})$ cambiará dependiendo de los índices del objeto que se encuentre. En el caso de un cuadrivector, será una matriz de Lorentz (representación fundamental). $W(\Lambda)$ no cambia porque una corriente $J_{\mu}$, un campo escalar $\phi(x)$ o un operador en general $\mathcal{O}(x)$ tienen todos una cosa en común: actuan sobre el espacio de Hilbert del sistema que estamos estudiando. Por tanto, $W(\Lambda)$ como operador unitario no necesita cambiar, pues todos estos objetos tienen la misma naturaleza, son operadores. Esto no pasa con $D(\Lambda^{-1})$ porque no es lo mismo tener un cuadrivector, que un tensor de orden dos, que un espinor. En este sentido son objetos de distinta naturaleza y $D(\Lambda^{-1})$ debe cambiar necesariamente.

Muchas gracias por esta otra respuesta. No sé qué son los blops, pero supongo que con mi nivel de comprensión más básico basta con saber que $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ aparece en los diagramas de Feynman y que como tal debe ser consistente para que la teoría basada en estos diagramas tenga sentido...

Un blop es esta bola gris:

En este caso, tenemos la autoenergía de un quark, y el blop es la suma de diagramas donde el quark emite un gluón y lo reabsorbe de todas las maneras posibles, incluyendo loops. Al final todos estos elementos de matriz son cosas del estilo $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ donde $\mathcal{O}$ es un operador de la teoría.

[Vitor]

Pongámoslo así: $D(\Lambda^{-1})$ cambiará dependiendo de los índices del objeto que se encuentre. En el caso de un cuadrivector, será una matriz de Lorentz (representación fundamental). $W(\Lambda)$ no cambia porque una corriente $J_{\mu}$, un campo escalar $\phi(x)$ o un operador en general $\mathcal{O}(x)$ tienen todos una cosa en común: actuan sobre el espacio de Hilbert del sistema que estamos estudiando. Por tanto, $W(\Lambda)$ como operador unitario no necesita cambiar, pues todos estos objetos tienen la misma naturaleza, son operadores. Esto no pasa con $D(\Lambda^{-1})$ porque no es lo mismo tener un cuadrivector, que un tensor de orden dos, que un espinor. En este sentido son objetos de distinta naturaleza y $D(\Lambda^{-1})$ debe cambiar necesariamente.

Pero si por ejemplo el operador de campo en cuestión es un operador espinor $\psi$ entonces el operador $W(\Lambda)$ que actúa sobre él como $W^{-1}(\Lambda)\psi W(\Lambda)$ no es unitario, mientras que para un estado por ejemplo también espinorial $|p,s \rangle$ el operador $U(\Lambda)$ que actúa sobre él como $U(\Lambda)|p,s \rangle$ sí que es un operador unitario, así que yo veo claramente que ambas cosas son diferentes (pero en el tutorial y en tus mensajes los dos operadores se tratan como si fueran completamente iguales y se agrupan indistintamente con estados y con operadores de campo como la corriente, aunque esto no lo veo justificado por ningún sitio sino que se da por supuesto, pero usando mi ejemplo yo diría que entonces es incorrecto).

¿Por qué pasa esto?

Un blop es esta bola gris:

En este caso, tenemos la autoenergía de un quark, y el blop es la suma de diagramas donde el quark emite un gluón y lo reabsorbe de todas las maneras posibles, incluyendo loops. Al final todos estos elementos de matriz son cosas del estilo $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ donde $\mathcal{O}$ es un operador de la teoría.

Ah, muchas gracias por la explicación. Entonces, ¿hay teorías donde los objetos $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ de hecho pueden ser $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (con los estados $|p\rangle$ y $\langle p'|$ teniendo distintos momentos) como el objeto del hilo o tener alguna relación con $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (de forma que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ sea literalmente importante en la teoría porque al menos contribuye a esos blops)?

[Weip]

Pero si por ejemplo el operador de campo en cuestión es un operador espinor $\psi$ entonces el operador $W(\Lambda)$ que actúa sobre él como $W^{-1}(\Lambda)\psi W(\Lambda)$ no es unitario, mientras que para un estado por ejemplo también espinorial $|p,s \rangle$ el operador $U(\Lambda)$ que actúa sobre él como $U(\Lambda)|p,s \rangle$ sí que es un operador unitario, así que yo veo claramente que ambas cosas son diferentes (pero en el tutorial y en tus mensajes los dos operadores se tratan como si fueran completamente iguales y se agrupan indistintamente con estados y con operadores de campo como la corriente, aunque esto no lo veo justificado por ningún sitio sino que se da por supuesto, pero usando mi ejemplo yo diría que entonces es incorrecto).

Aún en el caso de tener espinores, $W(\Lambda)$ es unitario. Lo que dijimos que no era unitario es la matriz $\Lambda_{1/2}$ con la que transforma el espinor.

Ah, muchas gracias por la explicación. Entonces, ¿hay teorías donde los objetos $\langle p|\mathcal{O}|p\rangle$ de hecho pueden ser $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (con los estados $|p\rangle$ y $\langle p'|$ teniendo distintos momentos) como el objeto del hilo o tener alguna relación con $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ (de forma que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ sea literalmente importante en la teoría porque al menos contribuye a esos blops)?

Sí, $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ aparece por ejemplo cuando calculas los factores de forma del protón siendo $J_{\mu}$ una corriente electromagnética, de manera que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ contiene información muy importante sobre la estructura interna del protón.

[Vitor]

Aún en el caso de tener espinores, $W(\Lambda)$ es unitario. Lo que dijimos que no era unitario es la matriz $\Lambda_{1/2}$ con la que transforma el espinor.

Esto es muy raro (o hay quizás un problema de notación), porque en el libro de Peskin y Schroeder la matriz $\Lambda_{1/2}$ se introduce de la siguiente forma (en (3.29)):

$\Lambda^{-1}_{1/2}\gamma^{\mu}\Lambda_{1/2} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\gamma^{\nu}\,,$

apareciendo la definición de $\Lambda_{1/2}$ en (3.30). Es decir, $\Lambda_{1/2}$ se introduce en una estructura completamente análoga a $W^{-1}(\Lambda)V^{\mu}W(\Lambda)$ (en este caso del libro, para una matriz de Dirac) y hemos dicho que $W(\Lambda)$ es un operador unitario asociado a una transformación de Lorentz $\Lambda$, así que más bien en el libro el objeto $\Lambda_{1/2}$ es unitario (lo cual parece estar también reflejado en su definición (3.30)) y hemos dicho también en el hilo que $W(\Lambda)$ no cambia (aunque esto es lo que estoy diciendo que no logro entender y que no lo veo demostrado en sí por ninguna parte, sólo afirmado), así que dando por supuesto eso entiendo entonces que para un operador espinor de campo el objeto $\Lambda_{1/2}$ del libro también va a aparecer con una estructura de la forma $\Lambda^{-1}_{1/2}\psi\Lambda_{1/2}$ y a ser unitario. ¿Qué está pasando entonces? ¿Te estás refiriendo a otro objeto $\Lambda_{1/2}$ que no tiene nada que ver con el de esas expresiones del libro y todo se trata simplemente de un problema de notación? Porque si no es así entonces yo veo que lo que aparece en el libro no es lo mismo que lo que has dicho ahora para ese objeto.

Aun así, dando por supuesto que $W(\Lambda)$ no cambia como estás diciendo en el hilo y como consideran también en el tutorial, lo que sí creo entender ahora con tu respuesta es que en lo relativo al espinor me estaba equivocando porque lo que es no unitario ahí es la matriz (digamos $S$) que saldría en el miembro de la derecha de $W(\Lambda)^{-1}\psi W(\Lambda) = S \psi$, ¿no?

PD: Creo que este punto sobre la definición y propiedades exactas de $\Lambda_{1/2}$ que está a la espera de aclararse es el mismo que el del otro hilo que abrí y con el último mensaje que escribiste allí todavía no he conseguido entenderlo, así que por el momento aún no he contestado en ese otro hilo para no repetir dos veces lo mismo y liarlo aún más todo. Muchas gracias por tus respuestas.

Sí, $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ aparece por ejemplo cuando calculas los factores de forma del protón siendo $J_{\mu}$ una corriente electromagnética, de manera que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ contiene información muy importante sobre la estructura interna del protón.

Muchas gracias por esta información (no tenía ni idea). Supongo que de manera general $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ aparece en esos factores de forma no sólo para el protón sino también para otras partículas cargadas con estructura interna que pueda haber en el Modelo Estándar, ¿no? Además, ¿entiendo entonces que por ejemplo para un positrón (que en el Modelo Estándar es elemental) no se podría hablar de factores de forma ni de un papel importante del objeto $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ para el mismo?

[Weip]

Hola de nuevo, intentaré detallar lo máximo que pueda punto por punto porque hay varias cuestiones.

Esto es muy raro (o hay quizás un problema de notación), porque en el libro de Peskin y Schroeder la matriz $\Lambda_{1/2}$ se introduce de la siguiente forma (en (3.29)):

$\Lambda^{-1}_{1/2}\gamma^{\mu}\Lambda_{1/2} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\gamma^{\nu}\,,$

apareciendo la definición de $\Lambda_{1/2}$ en (3.30). Es decir, $\Lambda_{1/2}$ se introduce en una estructura completamente análoga a $W^{-1}(\Lambda)V^{\mu}W(\Lambda)$

La estructura $\Lambda^{-1}_{1/2}\gamma^{\mu}\Lambda_{1/2} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\gamma^{\nu}\,,$ o $W^{-1}(\Lambda)V^{\mu}W(\Lambda)$ vienen de mucho más lejos y que se parezcan no tiene nada de extraño: cualquier matriz y cualquier operador se transforman igual bajo cualquier tipo de transformación. Es un cambio de base en el fondo. Si $f:V\to V$ es una aplicación lineal con $V$ un espacio vectorial de dimensión finita con matriz $M$ en una base concreta y cambiamos de base, la nueva matriz será $P^{-1}MP$. Si $V=H$ es ahora un espacio de Hilbert de dimensión infinita y $M$ es un operador, la misma fórmula aplica. No importa si $M$ es un campo, una corriente, o una matriz de Dirac: todos están sujetos a esta forma de transformar porque tienen espacios vectoriales detrás.

así que más bien en el libro el objeto $\Lambda_{1/2}$ es unitario (lo cual parece estar también reflejado en su definición (3.30))

En general no es unitario: $\Lambda_{1/2}$ pertenece a $\text{SL}(2,\mathbb{C})$, no a $\text{SU}(N)$. Esto se dice explícitamente en Peskin y Schroeder en la última línea del párrafo previo a la ecuación (3.32): "But $\Lambda_{1/2}$ is not unitary, because the generators (3.26) are not Hermitian". Los generadores a los que se refiere son los generadores de los boosts $S^{0i}$. Como dice el libro en el párrafo después de (3.26), que $\Lambda_{1/2}$ no sea unitario no importa, porque los espinores no tienen interpretación probabilística (esto lo comentamos en el otro hilo).

Por tanto la definición (3.30) no implica que $\Lambda_{1/2}$ sea unitario porque $\Lambda_{1/2}=e^{-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}}$ es unitario si el exponente es hermítico, cosa que no se cumple en este caso. Esto es general para cualquier exponencial que contenga operadores como exponentes.

$W(\Lambda)$ no cambia (aunque esto es lo que estoy diciendo que no logro entender y que no lo veo demostrado en sí por ninguna parte, sólo afirmado)

No hay otra manera en la que los campos transformen sin incumplir la relatividad especial. Si quieres ser formal, esa ley de transformación es un axioma (el principio de covarianza). Podemos explicar la lógica detrás del axioma pero no existe ninguna demostración formal de este hecho. Si te interesa el tema puedes consultar los axiomas de Wightman o de Haag-Kastler: son dos axiomáticas distintas de la teoría cuántica de campos cuyo punto en común es justamente que las dos asumen que los campos se transforman de esta manera sin que $W(\Lambda)$ cambie.

Dicho esto, mi explicación es la siguiente. $W:SO(3,1)\to U(H)$ asigna a cada transformación de Lorentz $\Lambda\in SO(3,1)$ un operador unitario $W(\Lambda)\in U(H)$ (en realidad $W$ se define sobre el grupo de Poincaré pero simplifiquemos la situación sacando las translaciones de la discusión, aunque funcionan de manera análoga). Al ser $\Lambda$ una transformación de Lorentz, cuando $W(\Lambda)$ se encuentre un operador, este verá que tiene índices de Lorentz, y seleccionará una representación que lo transformará de acuerdo a esos índices. Si $J_{\mu}$ es un vector, transformará como $\Lambda^{\nu}_{\mu}J_{\nu}$, no puede transformar de otra manera por el principio de covarianza. Esto significa que si tenemos un operador en un espacio de Hilbert $\phi^{\alpha}(x)$, $W(\Lambda)$ actuará por conjugación sobre los operadores para cumplir con el principio de covarianza, esto es, cumplirá $W(\Lambda)\phi^{\alpha}(x)W(\Lambda)^{-1}=D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}\phi^{\beta}(\Lambda x)$. Fíjate que $D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}$ es distinto a $W(\Lambda)$, pues $D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}$ es una representación de dimensión finita del grupo de Lorentz, mientras que $W(\Lambda)$ es una representación unitaria. Esto implica que $D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}$ cambia dependiendo de los índices de Lorentz de $\phi^{\alpha}(x)$. Dicho en otras palabras, $D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}$ cambia para que $W(\Lambda)$ no tenga que hacerlo.

así que dando por supuesto eso entiendo entonces que para un operador espinor de campo el objeto $\Lambda_{1/2}$ del libro también va a aparecer con una estructura de la forma $\Lambda^{-1}_{1/2}\psi\Lambda_{1/2}$ y a ser unitario. ¿Qué está pasando entonces?

A partir de la ecuación (3.108) hasta la ecuación (3.110) se demuestra que los espinores no se transforman como $\Lambda^{-1}_{1/2}\psi\Lambda_{1/2}$, si no como $\Lambda^{-1}_{1/2}\psi(\Lambda x)$.

¿Te estás refiriendo a otro objeto $\Lambda_{1/2}$ que no tiene nada que ver con el de esas expresiones del libro y todo se trata simplemente de un problema de notación? Porque si no es así entonces yo veo que lo que aparece en el libro no es lo mismo que lo que has dicho ahora para ese objeto.

La fuente de la confusión es que $W(\Lambda)$ y $\Lambda_{1/2}$ no son lo mismo, y como expliqué anteriormente, no hay que identificarlos.

Aun así, dando por supuesto que $W(\Lambda)$ no cambia como estás diciendo en el hilo y como consideran también en el tutorial, lo que sí creo entender ahora con tu respuesta es que en lo relativo al espinor me estaba equivocando porque lo que es no unitario ahí es la matriz (digamos $S$) que saldría en el miembro de la derecha de $W(\Lambda)^{-1}\psi W(\Lambda) = S \psi$, ¿no?

Exacto, $S$ no es unitario ni tiene porqué serlo tampoco a priori porque como $\psi$ no tiene interpretación probabilística (es un campo), no hay ninguna probabilidad a conservar.

Muchas gracias por esta información (no tenía ni idea). Supongo que de manera general $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ aparece en esos factores de forma no sólo para el protón sino también para otras partículas cargadas con estructura interna que pueda haber en el Modelo Estándar, ¿no? Además, ¿entiendo entonces que por ejemplo para un positrón (que en el Modelo Estándar es elemental) no se podría hablar de factores de forma ni de un papel importante del objeto $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ para el mismo?

En el ejemplo que puse ciertamente el protón es compuesto, pero también hay muchos procesos con partículas elementales en los que aparece. Como comenté el objetivo de la teoría cuántica de campos es calcular este tipo de objetos, así que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ y versiones más complejas con dos corrientes, tres, cuatro... como $\langle p'|J_{\mu}J_{\nu}|p\rangle$ o $\langle p'|J_{\mu}J_{\nu}J_{\rho}|p\rangle$ salen por todos sitios continuamente en el momento magnético del electrón y del muón, en interacciones electrodébiles, fuertes... literalmente en casi cualquier proceso, cambiando un poco su interpretación dependiendo del proceso. Y aunque la teoría nos da las reglas para calcularlas, elementos como $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ tienen mucha información y son objeto de investigación.

Espero haber aclarado un poco más la situación.

[Vitor]

La fuente de la confusión es que $W(\Lambda)$ y $\Lambda_{1/2}$ no son lo mismo, y como expliqué anteriormente, no hay que identificarlos.

Hola Weip, muchas gracias por intentar detallar al máximo todo. Lamentablemente, yo sigo viendo que algo no anda bien, así que procedo a detallar mis puntos:

1) Para un operador espinor $\psi$, se cumple una expresión de la siguiente forma al considerar una transformación de Lorentz:

$W_{1}^{-1}(\Lambda) \psi W_{1}(\Lambda) = S\psi$,

donde $W_{1}(\Lambda)$ es siempre un operador unitario y $S$ en cambio no lo es (en esto estamos totalmente de acuerdo creo).

2) Para un estado espinorial $|p\rangle$ masivo, se cumple una expresión de la siguiente forma al considerar una transformación de Lorentz (uso la expresión de tu mensaje del otro hilo):

$W_{2}(\Lambda) |p\rangle = \dst\sum_{s'}D_{s's}\left(T(\Lambda, p)\right)|\Lambda p, s'\rangle$,

donde $W_{2}(\Lambda)$ es también siempre un operador unitario. Concretamente, en este hilo, usé al principio la notación $U(\Lambda)$ para referirme a $W_{2}(\Lambda)$, así que $W_{2}(\Lambda)=U(\Lambda)$ para el estado $|p\rangle$ de este hilo.

3) Para un operador vectorial $V_{\mu}$, se cumple una expresión de la siguiente forma al considerar una transformación de Lorentz:

$W_{3}^{-1}(\Lambda) J_{\mu} W_{3}(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$,

donde $W_{3}(\Lambda)$ es también siempre un operador unitario. Concretamente, en este hilo, ha aparecido la corriente $J_{\mu}$ como un ejemplo concreto de un operador vectorial $V_{\mu}$.

Inciso: hasta este momento, bajo las transformaciones de Lorentz los miembros de la izquierda de las expresiones siempre tienen la estructura de la inversa de un operador unitario multiplicando al operador de campo y eso a su vez multiplicando al operador unitario.

4) Un operador matriz de Dirac $\gamma_{\mu}$ es vectorial y como tal tiene una expresión como la anterior asociada. Concretamente, en (3.30) del libro de Peskin y Schroeder proporcionan la siguiente expresión para la matriz de Dirac al considerar una transformación de Lorentz:

$\Lambda_{1/2}^{-1} \gamma_{\mu} \Lambda_{1/2} = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\gamma_{\nu}$,

así que es por eso que yo estaba entendiendo que $\Lambda_{1/2}$ parece ser unitaria (aunque ya has remarcado que no lo es), porque lo que sale en el miembro de la izquierda de estas expresiones debe referirse siempre a operadores unitarios.

¿Cuál es mi error? ¿Es falso que lo que aparezca en el miembro de la izquierda de las expresiones para cada tipo de operador de campo mencionado siempre incluye un operador unitario $W_{i}$, con $i=1,2,3$? Porque si ése es el error entonces sigue habiendo un problema ya que toda la discusión de este hilo está centrada en la pregunta "por qué se identifica tan a la ligera el operador de transformación $W_{2}(\Lambda)$ del estado $|p\rangle$ con el operador de transformación $W_{3}(\Lambda)$ del operador corriente $J_{\mu}$ (es decir, por qué se hace literalmente $W_{2}(\Lambda) =W_{3}(\Lambda)$) al agrupar indistintamente el operador de transformación $W_{2}(\Lambda)$ con el estado o con la corriente)". Y eso sería un problema porque si los operadores que salen en el miembro de la izquierda no siempre son unitarios (concretamente, el de una matriz de Dirac o el de una corriente, siguiendo ambos leyes de transformación vectoriales), entonces eso puede significar que el operador $W_{2}(\Lambda)$ del estado sí que sea unitario pero el operador $W_{3}(\Lambda)$ de la corriente no lo sea (como no lo es supuestamente el operador $\Lambda_{1/2}$ asociado a una matriz de Dirac, la cual sigue una transformación vectorial análoga a la de la corriente) y entonces evidentemente no se puedan agrupar como estás diciendo en el hilo y como hacen en el tutorial.

En el ejemplo que puse ciertamente el protón es compuesto, pero también hay muchos procesos con partículas elementales en los que aparece. Como comenté el objetivo de la teoría cuántica de campos es calcular este tipo de objetos, así que $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ y versiones más complejas con dos corrientes, tres, cuatro... como $\langle p'|J_{\mu}J_{\nu}|p\rangle$ o $\langle p'|J_{\mu}J_{\nu}J_{\rho}|p\rangle$ salen por todos sitios continuamente en el momento magnético del electrón y del muón, en interacciones electrodébiles, fuertes... literalmente en casi cualquier proceso, cambiando un poco su interpretación dependiendo del proceso. Y aunque la teoría nos da las reglas para calcularlas, elementos como $\langle p'|J_{\mu}|p\rangle$ tienen mucha información y son objeto de investigación.

Espero haber aclarado un poco más la situación.

Sí, muchas gracias por los detalles. Me imaginaba que objetos así son totalmente fundamentales pero al no estar familiarizado tanto con lo que has comentado es difícil ponerles nombres como tú lo has hecho, así que te agradezco la información y la precisión porque estas cosas son importantes para conocer un poco más los entresijos de la teoría y el significado de cada cosa.

[Weip]

4) Un operador matriz de Dirac $\gamma_{\mu}$ es vectorial y como tal tiene una expresión como la anterior asociada. Concretamente, en (3.30) del libro de Peskin y Schroeder proporcionan la siguiente expresión para la matriz de Dirac al considerar una transformación de Lorentz:

$\Lambda_{1/2}^{-1} \gamma_{\mu} \Lambda_{1/2} = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\gamma_{\nu}$,

así que es por eso que yo estaba entendiendo que $\Lambda_{1/2}$ parece ser unitaria (aunque ya has remarcado que no lo es), porque lo que sale en el miembro de la izquierda de estas expresiones debe referirse siempre a operadores unitarios.

La expresión 4) tiene una naturaleza distinta a las anteriores: las matrices de Dirac no son ni operadores ni estados, son generadores de un álgebra. Y por tanto la parte de la izquierda, aunque seguirá la estructura $S^{-1}\gamma^{\mu}S$, no hará que $S$ sea necesariamente unitaria ni este hecho entrará en conflicto con las anteriores relaciones. Encontraríamos un problema si hubiera por ejemplo un campo $\phi$ que obedeciera una ley de transformación así bajo transformaciones de Lorentz al mismo tiempo que $\phi(x)$ fuera un operador que actuara en un espacio de Hilbert. Esa no es la situación en la que estamos.

Fíjate que aunque las matrices de Dirac se transformen así a pesar de estar dentro de corrientes como $J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$, lo hacen porque de esta manera los campos $\psi$ y las corrientes $J^{\mu}$ se transforman como deben, con $W(\Lambda)$ unitario, y eso es lo que importa al final.

[Vitor]

La expresión 4) tiene una naturaleza distinta a las anteriores: las matrices de Dirac no son ni operadores ni estados, son generadores de un álgebra. Y por tanto la parte de la izquierda, aunque seguirá la estructura $S^{-1}\gamma^{\mu}S$, no hará que $S$ sea necesariamente unitaria ni este hecho entrará en conflicto con las anteriores relaciones. Encontraríamos un problema si hubiera por ejemplo un campo $\phi$ que obedeciera una ley de transformación así bajo transformaciones de Lorentz al mismo tiempo que $\phi(x)$ fuera un operador que actuara en un espacio de Hilbert. Esa no es la situación en la que estamos.

Hola Weip. Vaya, parece que ya se empieza a aclarar un poco el tema. Entonces el problema es que no siempre lo que aparece en el lado de la izquierda incluye operadores unitarios, esto es confuso porque es fácil leer por ahí que eso es algo general, pero me imagino que cuando dicen eso directamente no están teniendo en cuenta excepciones como las de las matrices de Dirac, que según comentas funcionan distinto por ser generadores de un álgebra, así que al menos ya veo que hay cosas que en realidad no funcionan como el resto y que hay que considerar para no asumir nada que pueda ser incorrecto.

El objeto del hilo es $\langle p'| J_\mu |p \rangle$ y según has dicho el estado $|p \rangle$ y la corriente $J_\mu$ sí que van a tener en el miembro de la izquierda de sus igualdades a un operador unitario $W(\Lambda)$ (que además va a ser exactamente el mismo para ambos, es decir, $U(\Lambda)$ en la notación del hilo) así que, teniendo en cuenta todo lo que has dicho, si el objeto hubiera sido $\langle p| \gamma_\mu |p \rangle$ en ese caso ya no se habrían podido agrupar las transformaciones $U(\Lambda)$ y $U'^{-1}(\Lambda)$ de los estados $|p \rangle$ y $\langle p'|$ con la matriz de Dirac $\gamma_\mu$, ¿no?

Fíjate que aunque las matrices de Dirac se transformen así a pesar de estar dentro de corrientes como $J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$, lo hacen porque de esta manera los campos $\psi$ y las corrientes $J^{\mu}$ se transforman como deben, con $W(\Lambda)$ unitario, y eso es lo que importa al final.

Esto también es importante y enlaza con lo que decía sobre la demostración de la ley de transformación para los estados y la corriente (que explique por qué sus respectivos operadores unitarios son los mismos), pero he entendido de tus respuestas que todo esto para los estados y la corriente es un axioma.

La matriz de Dirac en cambio has dicho que no incluye el mismo operador y que de hecho ese operador no es unitario, pero me imagino que eso ya no es un axioma sino que tiene que tener una demostración que sea consistente con esa diferencia que presenta la matriz de Dirac, ¿no? En el fondo no entiendo lo que dices de que el hecho de que las matrices de Dirac se transformen así (con $\Lambda^{-1}_{1/2} \gamma_\mu \Lambda_{1/2}$, donde $\Lambda_{1/2}$ no es unitario) hace que los estados y la corriente sí que se transformen con el operador unitario $U(\Lambda)=W(\Lambda)$ (esto último de hecho era un axioma y entonces no debería poder obtenerse a partir de otra cosa, ¿no?).

[Weip]

si el objeto hubiera sido $\langle p| \gamma_\mu |p \rangle$ en ese caso ya no se habrían podido agrupar las transformaciones $U(\Lambda)$ y $U'^{-1}(\Lambda)$ de los estados $|p \rangle$ y $\langle p'|$ con la matriz de Dirac $\gamma_\mu$, ¿no?

El objeto no podría haber sido $\langle p| \gamma_\mu |p \rangle$ porque no tiene sentido en cuántica, lo que ponemos entre $\langle p|$ y $|p \rangle$ ha de ser un operador, pero $\gamma_\mu$ no es un operador. Por tanto nunca estarás en esta situación para empezar.

La matriz de Dirac en cambio has dicho que no incluye el mismo operador y que de hecho ese operador no es unitario, pero me imagino que eso ya no es un axioma sino que tiene que tener una demostración que sea consistente con esa diferencia que presenta la matriz de Dirac, ¿no? En el fondo no entiendo lo que dices de que el hecho de que las matrices de Dirac se transformen así (con $\Lambda^{-1}_{1/2} \gamma_\mu \Lambda_{1/2}$, donde $\Lambda_{1/2}$ no es unitario) hace que los estados y la corriente sí que se transformen con el operador unitario $U(\Lambda)=W(\Lambda)$ (esto último de hecho era un axioma y entonces no debería poder obtenerse a partir de otra cosa, ¿no?).

Aquí me referia a que si tu tienes un campo espinorial $\psi$ que sabes que se transforma usando el principio de covarianza, que es un axioma, podemos deducir la ley de transformación de $\gamma_{\mu}$. Es decir tu tienes un campo espinorial $\psi$, y postulas la existencia de las matrices de Dirac $\gamma_{\mu}$ de manera que se cumpla la ecuación de Dirac. Si queremos que la ecuación de Dirac sea relativista, las matrices de Dirac han de transformar así. También se puede argumentar parecido a nivel de lagrangiano porque a ti te interesa que combinaciones como $\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$ se transformen como un vector por ejemplo.

[Vitor]

El objeto no podría haber sido $\langle p| \gamma_\mu |p \rangle$ porque no tiene sentido en cuántica, lo que ponemos entre $\langle p|$ y $|p \rangle$ ha de ser un operador, pero $\gamma_\mu$ no es un operador. Por tanto nunca estarás en esta situación para empezar.


Aquí me referia a que si tu tienes un campo espinorial $\psi$ que sabes que se transforma usando el principio de covarianza, que es un axioma, podemos deducir la ley de transformación de $\gamma_{\mu}$. Es decir tu tienes un campo espinorial $\psi$, y postulas la existencia de las matrices de Dirac $\gamma_{\mu}$ de manera que se cumpla la ecuación de Dirac. Si queremos que la ecuación de Dirac sea relativista, las matrices de Dirac han de transformar así. También se puede argumentar parecido a nivel de lagrangiano porque a ti te interesa que combinaciones como $\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$ se transformen como un vector por ejemplo.

De acuerdo, entonces parece que se va aclarando todo y lo único es que estaría bien confirmar dónde se establece el axioma y dónde no. De tus mensajes y de lo que he ido pensando creo que ésta es más o menos la respuesta:

1) La ley de transformación del campo espinorial $U^{\dagger}(\Lambda) \psi U(\Lambda)=\Lambda^{-1}_{1/2} \psi$ es un axioma.

2) Del axioma anterior, se deduce la ley de transformación $U^{\dagger}(\Lambda) J_{\mu} U(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$ para la corriente y la ley de transformación $\Lambda^{-1}_{1/2} \gamma_{\mu} \Lambda_{1/2} = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\gamma_{\nu}$ para las matrices de Dirac (es decir, las leyes de transformación para la corriente y para las matrices de Dirac no son axiomas sino que se deducen del axioma anterior).

3) Tengo la duda de si la transformación $U(\Lambda) |p\rangle = \dst\sum_{s'}D_{s's}\left(T(\Lambda, p)\right)|\Lambda p, s'\rangle$ para los estados espinoriales es un axioma o no (¿quizás incluso se pueda deducir la ley de transformación $U^{\dagger}(\Lambda) \psi U(\Lambda)=\Lambda^{-1}_{1/2} \psi$ del campo espinorial que mencioné en el primer punto a partir de ello?).

Este tema en realidad creo que no está nada claro en muchos sitios de internet (por ejemplo en este vídeo de Youtube escriben directamente una ley de transformación para las matrices de Dirac con matrices unitarias S y eso has dicho que es totalmente incorrecto), así que quienes no hemos profundizado tanto en la teoría podemos confundirnos fácilmente con lo que se lee por ahí.

[Weip]

De acuerdo, entonces parece que se va aclarando todo y lo único es que estaría bien confirmar dónde se establece el axioma y dónde no. De tus mensajes y de lo que he ido pensando creo que ésta es más o menos la respuesta:

1) La ley de transformación del campo espinorial $U^{\dagger}(\Lambda) \psi U(\Lambda)=\Lambda^{-1}_{1/2} \psi$ es un axioma.

No exactamente. El axioma establece que todo campo $\phi^{\alpha}(x)$ se transforma bajo una transformación de Lorentz arbitraria como $U(\Lambda)\phi^{\alpha}(x)U(\Lambda)^{-1}=D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}\phi^{\beta}(\Lambda x)$. A esto se le llama principio de covarianza. De hecho, se postula para el grupo de Poincaré, que es más general porque contiene translaciones. Ahora, cuando ponemos un caso concreto como un espinor de Dirac $\psi$, podemos demotrar que $D(\Lambda^{-1})$ es igual a $\Lambda^{-1}_{1/2}$, que es lo que explica Peskin en la sección de los espinores.

2) Del axioma anterior, se deduce la ley de transformación $U^{\dagger}(\Lambda) J_{\mu} U(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$ para la corriente y la ley de transformación $\Lambda^{-1}_{1/2} \gamma_{\mu} \Lambda_{1/2} = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\gamma_{\nu}$ para las matrices de Dirac (es decir, las leyes de transformación para la corriente y para las matrices de Dirac no son axiomas sino que se deducen del axioma anterior).

Dado que la corriente está hecha de campos, sí, esas relaciones son derivadas del axioma.

3) Tengo la duda de si la transformación $U(\Lambda) |p\rangle = \dst\sum_{s'}D_{s's}\left(T(\Lambda, p)\right)|\Lambda p, s'\rangle$ para los estados espinoriales es un axioma o no (¿quizás incluso se pueda deducir la ley de transformación $U^{\dagger}(\Lambda) \psi U(\Lambda)=\Lambda^{-1}_{1/2} \psi$ del campo espinorial que mencioné en el primer punto a partir de ello?).

Tal como dije en el mensaje #6 del otro hilo, la transformación de los estados se demuestra. Omití la demostración porque sería muy costoso en tiempo escribirla. En todo caso es una demostración que se explica en muchos libros, por eso puse como referencia la sección 2.5 del libro de Weinberg, hace la demostración en detalle (toda la subsección está dedicada a ello).

Este tema en realidad creo que no está nada claro en muchos sitios de internet (por ejemplo en este vídeo de Youtube escriben directamente una ley de transformación para las matrices de Dirac con matrices unitarias S y eso has dicho que es totalmente incorrecto), así que quienes no hemos profundizado tanto en la teoría podemos confundirnos fácilmente con lo que se lee por ahí.

Ciertamente hay algunos textos / apuntes / vídeos en internet que no siempre son claros, o que incluso tienen pequeños errores. No es de estrañar, todos estos temas son complicados, y más cuando ponemos espinores por enmedio. Aún así los libros como Peskin y Schroeder o Weinberg no suelen tener errores conceptuales, solo erratas como mucho que ve van corrigiendo con el pasar de las ediciones. Si bien es cierto que partes de la teoría cuántica de campos no son matemáticamente rigurosas, todo esto de las representaciones del grupo de Lorentz, aún siendo sutiles, se han estudiado mucho y están muy bien establecidas, así que en esto se puede profundizar mucho.

[Vitor]

No exactamente. El axioma establece que todo campo $\phi^{\alpha}(x)$ se transforma bajo una transformación de Lorentz arbitraria como $U(\Lambda)\phi^{\alpha}(x)U(\Lambda)^{-1}=D(\Lambda^{-1})^{\alpha}_{\beta}\phi^{\beta}(\Lambda x)$. A esto se le llama principio de covarianza. De hecho, se postula para el grupo de Poincaré, que es más general porque contiene translaciones. Ahora, cuando ponemos un caso concreto como un espinor de Dirac $\psi$, podemos demostrar que $D(\Lambda^{-1})$ es igual a $\Lambda^{-1}_{1/2}$, que es lo que explica Peskin en la sección de los espinores.


Dado que la corriente está hecha de campos, sí, esas relaciones son derivadas del axioma.


Tal como dije en el mensaje #6 del otro hilo, la transformación de los estados se demuestra. Omití la demostración porque sería muy costoso en tiempo escribirla. En todo caso es una demostración que se explica en muchos libros, por eso puse como referencia la sección 2.5 del libro de Weinberg, hace la demostración en detalle (toda la subsección está dedicada a ello).


Ciertamente hay algunos textos / apuntes / vídeos en internet que no siempre son claros, o que incluso tienen pequeños errores. No es de estrañar, todos estos temas son complicados, y más cuando ponemos espinores por enmedio. Aún así los libros como Peskin y Schroeder o Weinberg no suelen tener errores conceptuales, solo erratas como mucho que ve van corrigiendo con el pasar de las ediciones. Si bien es cierto que partes de la teoría cuántica de campos no son matemáticamente rigurosas, todo esto de las representaciones del grupo de Lorentz, aún siendo sutiles, se han estudiado mucho y están muy bien establecidas, así que en esto se puede profundizar mucho.

Muchas gracias por señalar tan claramente dónde está el axioma y por reiterar lo que dijiste anteriormente (son tantas cosas que para mí es fácil perderme, pero ahora ya he visto que es exactamente como dices), el tema para mí está muchísimo más claro.

La última duda que tengo es por qué al aplicar una transformación de Lorentz para el objeto inicial $\langle p' | J_\mu |p\rangle$ se transforman únicamente los estados $|p \rangle$ y $\langle p'|$, lo cual da $\langle p' | J_\mu |p\rangle \rightarrow \langle p' | U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda) |p\rangle$ y de ahí se agrupa $U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)$ como una transformación para la corriente que por tanto da $\Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$. ¿No debería transformarse todo lo que esté dentro del objeto de una sola vez, es decir, $\langle p' | J_\mu |p\rangle \rightarrow \langle p' | U^{\dagger}(\Lambda) \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}U(\Lambda) |p\rangle$?

Anteriormente dijimos que la transformación en sí consistía en una rotación de ángulo $\phi$ alrededor del eje de propagación de la partícula (que, teniendo en cuanta que las transformaciones de Lorentz pueden descomponerse en boosts y rotaciones, entiendo que es una rotación). ¿Por qué esa rotación no cambia directamente la corriente sino solamente los estados? Creo que entendiendo este último punto ya aclararía completamente todas las diferencias relativas a las leyes de transformación de cada cosa (una vez que las diferencias relativas a lo que es axioma y lo que no en esas leyes de transformación ya han quedado completamente claras).

Muchas gracias por tus respuestas.