Apuntes de electromagnetismo

[Al2000]

Fuerza electrostática: Ley de Coulomb

Joseph Priestley (1733 - 1804), realizando varios experimentos demostró que no existe ninguna electricidad en la superficie interior de una vasija metálica hueca, a partir de este resultado dedujo que la fuerza entre dos cargas varia varía proporcionalmente al inverso del cuadrado de las distancia entre ellas. Estos resultados fueron confirmados experimentalmente por Charles Coulomb (1736 - 1806), mediante la utilización de una balanza de torsión, para medir la fuerza que se ejercían diferentes cargas puntuales (Una carga puntual es aquella cuyas dimensiones espaciales son muy pequeñas en comparación con otra longitud pertinente al sistema considerado). Coulumb enunció lo siguiente:

La interacción electrostática entre dos partículas cargadas es proporcional a sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y su dirección es según la recta que las une.

Matemáticamente la relación encontrada se representa así:

$$\vec F=k\frac{q_1q_2}{r^ 2}\hat r$$

donde $q_1$ y $q_2$ son las cargas eléctricas que están interactuando, $r$ la distancia que las separa, $\hat r=\dfrac{\mathbf{r}}{r}$ el vector unitario que define la dirección de la fuerza electrostática y $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon}$, es la constante eléctrica que depende del medio donde se efectue la interacci\'on pero ejemplo cuando las cargas eléctricas se encuentran en el vacio esta toma un valor de $\varepsilon_o=8,854187817\cdots.10^{-12}\textrm{C}^2/\textrm{N}.\textrm{m}^2$, resultando aproximadamente $k=8,987552425.10^9\textrm{N}.\textrm{m}^2/\textrm{C}^2\approx 9,00.10^9\textrm{N}.\textrm{m}^2/\textrm{C}^2$.


Las características más importantes que se pueden mencionar de la fuerza eléctrica con las siguientes:

• Las fuerzas que actúan sobre las partículas, están dirigidas a lo largo de una recta que une sus centros, es decir es una fuerza central al igual que la gravitatoria.
• Es importante resaltar el hecho de que esta fuerza también cumple la ley del inverso del cuadrado al igual que la fuerza gravitatoria.
• La fuerza de Coulomb depende de las propiedades del medio en el que se encuentran las cargas que interaccionan, ello debido a que la constante eléctrica es una propiedad inherente del medio donde se desarrolle la interacción.

El exponente de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente $2$. Esto tiene consecuencias importantes. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma $2+\delta$, entonces $|\delta|<10^{-16}$.

La fuerza electrostática es una cantidad vectorial, por tanto como buen vector cumplirá todas las reglas que con ellos se han establecido, en especial el principio de superposición.

Cuando se tiene interactuando a una partícula de carga $q_o$ con un cuerpo sólido de carga $Q$ la ley de Coulomb se puede escribir como:

$$\vec F=kq_o\int_0^Q\frac{\dd q}{r^2}\hat r$$

donde $\dd q$ es el elemento de carga que se considerará para realizar la integración sobre todo el cuerpo.

Se tiene que tomar en cuenta el signo algebraico de las cargas al momento de calcular la fuerza eléctrica, de ello depende obtener la fuerza en su dirección correcta.

Aun mejor para evitar la confusión de signos, primero se puede calcular el módulo de la fuerza eléctrica para luego determinar su dirección observando los signos de las cargas.

[Al2000]

OK, [Beto], hay algunos errorcitos en la sección Campo eléctrico generado por un dipolo.

- Empezandito con la ecuación (1), que no se corresponde con el gráfico: en el gráfico $\boldsymbol r_1$ está asociado a la carga negativa y en la ecuación con la carga positiva.

- En las ecuaciones (2) subsiguientes hay lo que parece un error de LaTeX. Por otra parte los roles de $\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$ no son consistentes. Si el dibujo está bién, entonces las ecuaciones primera y segunda del grupo están mal; si el dibujo está mal ($\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$ intercambiados), entonces las tercera y cuarta están mal.

- Debido al error anterior, al reemplazar (2) en (1) la ecuación del campo resultante tiene errores en los signos.

- En el texto siguiente hay errores de LaTeX.

- En el grupo de dos ecuaciones a continuación, la primera ecuación tiene errores de signos qe se traducen en que el vector $\boldsymbol d$ aparece positivo cuando debe ser negativo. En esa segunda ecuación del grupo hay un error de LaTeX también.

- Finalmente el error se corrige "solo" cuando reemplazas el valor de $\boldsymbol d$ con el signo cambiado en la ecuación del campo.

Además de corregir estos errores, tal vez quisieras aprovechar para añadir la expresión vectorial del campo, aprovechando que ya tienes la ecuación casi lista:

$$\boldsymbol E = k \frac q {r^3}\left[\left(\frac {3d} r \cos\theta\right) \boldsymbol r- \boldsymbol d \right] = \frac k {r^3}\left[(3p \cos \theta ) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p \right] \quad \Rightarrow \quad \boxed {\boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {(3\boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p}{r^3}}$$

Saludos,

Al

[Al2000]

Bueno, ya que rompimos el hielo, permíteme hacer un comentario respecto de la sección Dipolo eléctrico en presencia...

En el primer grupo de ecuaciones se presenta de nuevo el mismo error de LaTeX asociado con el caracter de alineación. Mas adelante se repite la frase "el trabajo realizado por...".

Aquí en el cálculo del trabajo sugeriría hacerlo mas general cambiando el límite inferior de la integral por $\theta_0$ y obtener

$$W = p E \int_{\theta_0}^\theta \, \mathrm {sen} \, \alpha \,d \alpha = -p E (\cos \theta - \cos \theta_0)$$

para luego definir la energía potencial del dipolo usando el ángulo $\theta_0 = \pi /2$ como ángulo de referencia para concluir que la energía potencial del dipolo es

$\dst \boxed {U = - \boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol E}$

Saludos,

Al

[braian]

Re: Apuntes de electromagnetismo

muy bueno me gusto mucho