Apuntes de electromagnetismo

[Al2000]

La carga eléctrica y distribuciones de carga

Casi todos conocemos los efectos eléctricos producidos por la fricción en muchas situaciones ordinarias. Por ejemplo frotando un peine de plástico en el cabello para luego acercarlo a unos pequeños trozos de papel, que serán atraídos.

El filósofo griego Thales de Mileto observó que cuando se frotaba ámbar, atraía objetos pequeños tales como plumas y pajitas, el fue uno de los primeros en estudiar dicho fenómeno.

Cuando se frota vidrio con seda, el vidrio se carga positivamente y la seda adquiere carga negativa, en cambio cuando se frota ámbar con cuero el ambar adquiere carga negativa y el cuero positiva.

En el siglo XVI, el físico inglés William Gilbert estudio sistemáticamente los efectos eléctricos y magnéticos, demostró que muchas sustancias diferentes del ámbar adquieren una propiedad atractiva cuando se frotaban, introdujo el término de fuerza eléctrica y polo magnético.

Así hubieron muchos estudios acerca de esta propiedad observada hasta que Charles Francois Du Fay sugirió la existencia de dos tipos de electricidad y en 1747, posteriormente Benjamín Franklin propuso un modelo en el cual se postula el principio de conservación de la carga introduciendo así el concepto de carga eléctrica. Y finalmente en 1897, Thompson encontró la relación de carga a masa de los electrones, y en 1909 Millikan midió la carga del electrón.

Los resultados de las observaciones anteriormente mencionadas se pueden escribir a modo de resumen como se muestra a continuación:

• La carga eléctrica es una propiedad inherente a la materia del mismo modo que lo es la masa.
• Existen dos tipos de carga, positiva $(+)$ y negativa $(-)$.
• La carga neta de un cuerpo es la suma algebraica de sus cargas positivas y negativas, por ello se dice que un cuerpo es eléctricamente nulo cuando tiene la misma cantidad de carlas eléctricas positivas y negativas.
• Cuerpos con cargas eléctricas iguales se repelen y cuerpos con cargas eléctricas diferentes se atraen.
• La carga se conserva en cualquier proceso relacionado con un sistema aislado, a esto se le conoce como principio de conservación de la carga.
• La carga esta cuantizada y siempre es un múltiplo entero de la carga del electrón ($e=1,6021 \mathrm{C}$) es decir $Q=ne$.

La carga fundamental $e$ se considera positiva, por tanto la carga del electrón es $-e$ y la del protón es $+e$.

Se pueden distinguir algunos métodos de electrización para cargar un cuerpo, como por ejemplo:

Frotamiento: cuando un cuerpo frota a otro (ambos descargados), se transmiten espontáneamente electrones de uno a otro quedando cargados. Aquí hay una lista de materiales con electroafinidad ascendente (o sea que el azufre tiende a ser negativo, mientras que el vidrio tiende a ser positivo, si ambos se frotan uno con otro)

$(-)$ $\Rightarrow$ vidrio$\Rightarrow$ lana $\Rightarrow$ cuero $\Rightarrow$ plástico $\Rightarrow$ seda $\Rightarrow$ cera de parafina $\Rightarrow$ ebonita $\Rightarrow$ cobre $\Rightarrow$ azufre $\Rightarrow$ $(+)$

Contacto: cuando se ponen en contacto dos cuerpos, uno cargado positivamente y otro neutro, se transfieren electrones del cuerpo descargado hacia el otro quedando ambos cargados positivamente.

Inducción y polarización: cuando un cuerpo cargado se acerca a uno descargado sin llegar a tocarlo, las cargas en este último se reagrupan en dos regiones distintas del mismo, debido a que los electrones del cuerpo descargado son atraídos o repelidos a uno de los extremos según sea el caso, al alejarse nuevamente el cuerpo cargado desaparece ese reagrupamiento de cargas. A esa separación de cargas dentro de un objeto eléctricamente neutro se le denomina polarización

También es importante mencionar que existen diferentes materiales eléctricos, con diversas propiedades los cuales se detallaran en otro artículo de blog.

Finalmente es importante comentar acerca de las distribuciones continuas de carga, pues será necesario este concepto para desarrollar diversos ejercicios, para ello se definirá una densidad de carga dependiendo del tipo de distribución de la que se trate:

Distribución lineal: Este caso se presenta cuando el cuerpo es un filamento, cuerda, alambre, etc, para cuantificar la distribución de carga se define la densidad lineal de carga $\lambda$, de la siguiente manera

$$\lambda=\frac{Q}{\ell}$$

$Q$: carga total del cuerpo

$\ell$: longitud total del cuerpo

cuando la carga se distribuye uniformemente en el cuerpo, y cuando la carga eléctrica no se distribuye por igual

$$\lambda=\frac{\dd q}{\dd \ell}$$

$\dd q$: diferencial de carga

$\dd\ell$: diferencial de longitud

Distribución superficial: Este caso se presenta cuando el cuerpo es una placa, un disco, una plancha, etc, para cuantificar la distribución de carga se define la densidad lineal de carga $\sigma$, de la siguiente manera

$$\sigma=\frac{Q}{S}$$

$Q$: carga total del cuerpo

$S$: superficie total del cuerpo

cuando la carga se distribuye uniformemente en el cuerpo, y cuando la carga eléctrica no se distribuye por igual

$$\sigma=\frac{\dd q}{\dd S}$$

$\dd q$: diferencial de carga

$\dd S$: diferencial de superficie

Distribución volumétrica: Este caso se presenta cuando el cuerpo tiene dimensiones de volumen, por ejemplo un cubo, una esfera, un cilindro, etc, para cuantificar la distribución de carga se define la densidad lineal de carga $\rho$, de la siguiente manera

$$\rho=\frac{Q}{V}$$

$Q$: carga total del cuerpo

$V$: volumen total del cuerpo

cuando la carga se distribuye uniformemente en el cuerpo, y cuando la carga eléctrica no se distribuye por igual

$$\rho=\frac{\dd q}{\dd V}$$

$\dd q$: diferencial de carga

$\dd V$: diferencial de volumen

[Al2000]

OK, [Beto], hay algunos errorcitos en la sección Campo eléctrico generado por un dipolo.

- Empezandito con la ecuación (1), que no se corresponde con el gráfico: en el gráfico $\boldsymbol r_1$ está asociado a la carga negativa y en la ecuación con la carga positiva.

- En las ecuaciones (2) subsiguientes hay lo que parece un error de LaTeX. Por otra parte los roles de $\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$ no son consistentes. Si el dibujo está bién, entonces las ecuaciones primera y segunda del grupo están mal; si el dibujo está mal ($\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$ intercambiados), entonces las tercera y cuarta están mal.

- Debido al error anterior, al reemplazar (2) en (1) la ecuación del campo resultante tiene errores en los signos.

- En el texto siguiente hay errores de LaTeX.

- En el grupo de dos ecuaciones a continuación, la primera ecuación tiene errores de signos qe se traducen en que el vector $\boldsymbol d$ aparece positivo cuando debe ser negativo. En esa segunda ecuación del grupo hay un error de LaTeX también.

- Finalmente el error se corrige "solo" cuando reemplazas el valor de $\boldsymbol d$ con el signo cambiado en la ecuación del campo.

Además de corregir estos errores, tal vez quisieras aprovechar para añadir la expresión vectorial del campo, aprovechando que ya tienes la ecuación casi lista:

$$\boldsymbol E = k \frac q {r^3}\left[\left(\frac {3d} r \cos\theta\right) \boldsymbol r- \boldsymbol d \right] = \frac k {r^3}\left[(3p \cos \theta ) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p \right] \quad \Rightarrow \quad \boxed {\boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {(3\boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p}{r^3}}$$

Saludos,

Al

[Al2000]

Bueno, ya que rompimos el hielo, permíteme hacer un comentario respecto de la sección Dipolo eléctrico en presencia...

En el primer grupo de ecuaciones se presenta de nuevo el mismo error de LaTeX asociado con el caracter de alineación. Mas adelante se repite la frase "el trabajo realizado por...".

Aquí en el cálculo del trabajo sugeriría hacerlo mas general cambiando el límite inferior de la integral por $\theta_0$ y obtener

$$W = p E \int_{\theta_0}^\theta \, \mathrm {sen} \, \alpha \,d \alpha = -p E (\cos \theta - \cos \theta_0)$$

para luego definir la energía potencial del dipolo usando el ángulo $\theta_0 = \pi /2$ como ángulo de referencia para concluir que la energía potencial del dipolo es

$\dst \boxed {U = - \boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol E}$

Saludos,

Al

[braian]

Re: Apuntes de electromagnetismo

muy bueno me gusto mucho