Apuntes de electromagnetismo

[Al2000]

El dipolo eléctrico

Existen muchas moléculas simples como por ejemplo la del agua que es eléctricamente neutra en conjunto, pero la distribución de cargas que posee permite modelarla como si fuera una especie de dipolo eléctrico, así también hay muchas otras moléculas con características similares, moléculas mucho más complejas como el ADN. Por esas razones y al existir muchas moléculas que pueden ser modeladas en base a uno o más dipolos eléctricos, es que se hace importante estudiar este particular sistema de cargas.

Un dipolo eléctrico es un sistema conformado por dos cargas puntuales de signos opuestos y de igual magnitud, separadas una distancia $d$, mucho menor que las distancias que manejamos en el sistema en estudio.

Este sistema al ser eléctricamente neutro, a distancias muy grandes su campo campo eléctrico generado tenderá a cero (una distancia muy grande respecto al dipolo debe de entenderse como una distancia mucho mayor en comparación con la separación entre las cargas que conforman el dipolo).

Llegado a este punto resulta conveniente definir un nuevo vector al que llamaremos momento dipolar eléctrico y se lo denotará por $\vec p$, definido de la siguiente manera:

El momento dipolar eléctrico es el producto de la magnitud de cualquiera de las cargas $|q|$, por el vector de posición $\vec d$ de la carga positiva respecto a la negativa, es decir:

$$\vec p=|q|\vec d$$

Ahora continuando con el breve estudio del dipolo eléctrico, analizaré como es el campo eléctrico producido por este en un punto $P$, y finalmente trataré de estudiar como es el comportamiento de un dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico externo a él.

Campo eléctrico generado por un dipolo:

La forma de calcular a continuación el campo eléctrico generado por un dipolo en un punto $P$, es algo larga y posteriormente cuando trate el tema de potencial eléctrico se verá que es poco elegante, pero resulta divertido calcularlo de esta forma, así que la presento a continuación:

El campo eléctrico del dipolo generado en un punto $P$ está dado por:

$$\vec E=-k\frac{q}{r_1^3}\vec r_1+k\frac{q}{r_2^3}\vec r_2$$

donde:

$$\begin{aligned} \dst r_1&=[r^2+\frac{d^2}{4}+rd\cos\theta]^{1/2}\\<br /> \dst r_2&=[r^2+\frac{d^2}{4}-rd\cos\theta]^{1/2}\\<br /> \vec r_1&=\vec r+\frac{\vec d}{2}\\<br /> \vec r_2&=\vec r-\frac{\vec d}{2}\end{aligned}<br />$$

y considerando que $q$ indica el valor de la carga positiva, para no escribir $|q|$.

Luego reemplazando las expresiones (2) en (1) y operando se tiene que:

$$<br /> \vec E=k\frac{q}{r^3}\left[-\left(1+\frac {d^2}{4r^2}+ \frac{d}{r}\cos\theta\right)^{-3/2}\left(\vec r+\frac{\vec d}{2}\right) +\left(1+\frac{d^2}{4r^2}-\frac{d}{r}\cos\theta\right)^{-3/2}\left(\vec r-\frac{\vec d}{2}\right)\right]<br />$$

Ahora considerando que $d<<r$ se tiene $d/r<<1$ , para luego hacer uso de la aproximación $(1+x)^{-3/2}\approx1-3x/2$ (valido para cuando $x<<1$), además $(d/r)^2\to 0$, pudiéndose despreciar de este modo los términos cuadráticos, obteniéndose así:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \vec E&=k\frac{q}{r^3}\left[-\left(1-\underbrace{\frac {3d^2}{8r^2}}_{=0}- \frac{3d}{2r}\cos\theta\right)\left(\vec r+\frac{\vec d}{2}\right) +\left(1-\underbrace{\frac{3d^2}{8r^2}}_{=0}+\frac{3d}{2r}\cos\theta\right)\left(\vec r-\frac{\vec d}{2}\right)\right]\\<br /> \Longrightarrow \vec E&=k\frac{q}{r^3}\left[\left(\frac{3d}{r}\cos\theta\right)\vec r-\vec d\right]\\<br /> \end{aligned}<br />$$

luego tomando en cuenta que $\vec d=d(cos\theta\hat u_r-\sin\theta\hat u_\theta)$ y que $\vec r=r\hat u_r$, al reemplazar se tiene:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \vec E&=k\frac{q}{r^3}\left[\frac{3d}{\cancel{r}}\cos\theta \cancel{r} \hat u_r-d(cos\theta\hat u_r-\sin\theta\hat u_\theta)\right]\\<br /> \Longrightarrow\vec E&=k\frac{2qd\cos\theta}{r^3}\hat u_r+k\frac{qd\sin\theta}{r^3}\hat u_\theta<br /> \end{aligned}<br />$$

finalmente poniendo todo en función del momento dipolar, se obtiene que:

$$\boxed{\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{2p\cos\theta}{r^3}\hat u_r+\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{p\sin\theta}{r^3}\hat u_\theta}$$

También se puede encontrar una expresión vectorial para el capo eléctrico a partir de la expresión (3), de la siguiente manera:

$$\vec E = k \frac q {r^3}\left[\left(\frac {3d} r \cos\theta\right) \vec r- \vec d \right] = \frac k {r^3}\left[(3p \cos \theta ) \hat u_r - \vec p \right] \quad \Rightarrow \quad \boxed {\vec E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {(3\vec p \boldsymbol\cdot \hat u_r) \hat u_r - \vec p}{r^3}}$$

Dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico externo y uniforme:

Consideraré un dipolo eléctrico de momento dipolar $\mathbf{p}$, que está dentro de un campo eléctrico uniforme $\mathbf{E}$, como se muestra:

En estas condiciones cada carga del dipolo experimenta una fuerza de igual magnitud, pero de sentido opuesto, de modo que la fuerza resultante sobre el dipolo es nula, pero existe un par de fuerzas, y el momento o torque, de este par respecto al centro de giro $O$ del dipolo es:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \vec\tau&=\frac{\vec d}{2}\times \vec F_1+\frac{-\vec d}{2}\times \vec F_2\\<br /> \vec\tau&=\frac{\vec d}{2}\times (q\vec E)+\frac{-\vec d}{2}\times (-q\vec E)\\<br /> \vec\tau&=q\vec d\times\vec E<br /> \end{aligned}<br />$$

luego el momento que experimenta el dipolo eléctrico, en función del momento dipolar es:

$$\boxed{\vec\tau=\vec p\times\vec E}$$

Ahora si pensamos en que efectos trae este momento para con el dipolo, es fácil notar que el par de fuerzas hará girar al dipolo, para así alinearlo en dirección del campo eléctrico, así el trabajo realizado por el campo eléctrico para alinear el dipolo es:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> W&=\int_0^\theta \tau\dd\alpha\\<br /> W&=pE\int_0^\theta \sin\alpha\dd\alpha\\<br /> W&=pE\left(-\cos\alpha)\right|_0^\theta<br /> \end{aligned}<br />$$

y así finalmente el trabajo realizado por el campo eléctrico para alinear el dipolo es:

$$\boxed{W=pE(1-\cos\theta)}$$

[Al2000]

OK, [Beto], hay algunos errorcitos en la sección Campo eléctrico generado por un dipolo.

- Empezandito con la ecuación (1), que no se corresponde con el gráfico: en el gráfico $\boldsymbol r_1$ está asociado a la carga negativa y en la ecuación con la carga positiva.

- En las ecuaciones (2) subsiguientes hay lo que parece un error de LaTeX. Por otra parte los roles de $\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$ no son consistentes. Si el dibujo está bién, entonces las ecuaciones primera y segunda del grupo están mal; si el dibujo está mal ($\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$ intercambiados), entonces las tercera y cuarta están mal.

- Debido al error anterior, al reemplazar (2) en (1) la ecuación del campo resultante tiene errores en los signos.

- En el texto siguiente hay errores de LaTeX.

- En el grupo de dos ecuaciones a continuación, la primera ecuación tiene errores de signos qe se traducen en que el vector $\boldsymbol d$ aparece positivo cuando debe ser negativo. En esa segunda ecuación del grupo hay un error de LaTeX también.

- Finalmente el error se corrige "solo" cuando reemplazas el valor de $\boldsymbol d$ con el signo cambiado en la ecuación del campo.

Además de corregir estos errores, tal vez quisieras aprovechar para añadir la expresión vectorial del campo, aprovechando que ya tienes la ecuación casi lista:

$$\boldsymbol E = k \frac q {r^3}\left[\left(\frac {3d} r \cos\theta\right) \boldsymbol r- \boldsymbol d \right] = \frac k {r^3}\left[(3p \cos \theta ) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p \right] \quad \Rightarrow \quad \boxed {\boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {(3\boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p}{r^3}}$$

Saludos,

Al

[Al2000]

Bueno, ya que rompimos el hielo, permíteme hacer un comentario respecto de la sección Dipolo eléctrico en presencia...

En el primer grupo de ecuaciones se presenta de nuevo el mismo error de LaTeX asociado con el caracter de alineación. Mas adelante se repite la frase "el trabajo realizado por...".

Aquí en el cálculo del trabajo sugeriría hacerlo mas general cambiando el límite inferior de la integral por $\theta_0$ y obtener

$$W = p E \int_{\theta_0}^\theta \, \mathrm {sen} \, \alpha \,d \alpha = -p E (\cos \theta - \cos \theta_0)$$

para luego definir la energía potencial del dipolo usando el ángulo $\theta_0 = \pi /2$ como ángulo de referencia para concluir que la energía potencial del dipolo es

$\dst \boxed {U = - \boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol E}$

Saludos,

Al

[braian]

Re: Apuntes de electromagnetismo

muy bueno me gusto mucho