¿Y cómo integro?

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3. Criterios de Integración

3.1 Integración por sustitución trigonométrica

Es común encontrar la antiderivada de una función cuando se presentan expresiones de la siguiente forma $\sqrt{a^2-u^2}$, $\sqrt{u^2-a^2}$ y $\sqrt{a^2+u^2}$, donde $u=u(x)$ y $a>0$ no depende de x, las cuales observandolas cuidadosamente se pueden relacionar con las siguientes identidades trigonométricas:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \sin^2 t+\cos^2 t&=1\\<br /> \sec^2 t-\tan^2 t&=1\\<br /> \csc^2 t -\cot^2 t&=1<br /> \end{aligned}<br />$$

por ejemplo considerando los siguientes cambios de variable, se obtienen las identidades anteriormente mencionadas:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> u&=a\cos t &\Rightarrow \sin^2 t &=1-\cos^2 t\\<br /> u&=a\sec t&\Rightarrow \tan^2 t&=\sec^2 t-1\\<br /> u&=a\cot t&\Rightarrow \csc^2 t&=1+\cot^2t<br /> \end{aligned}<br />$$

Ahora para visualizar de una mejor manera como funcióna este tipo de cambio de variable desarrollemos con detalle el primer cambio de variable, en un ejemplo bastante sencillo:

Ejemplo:

Encontrar la integral de

$$I=\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\dd x$$

para calcular la integral de esa expresión se realizará el cambio de variable $x=2\cos t\Rightarrow \dd x= -a\sin t\dd t$, entonces luego de sustituir en la expresión de la integral, resulta:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> I=&\int\dfrac{1}{\sqrt{4-4\cos^2 t}}\\<br /> I=&\int\dfrac{1}{2\sqrt{1-\cos^2 t}}(-2\sin t\dd t)\\<br /> I=&\int\dfrac{1}{\cancel{2\sin t}}(-\cancel{2\sin t}\dd t)\\<br /> I=&\int(-\dd t)\\<br /> I=&-t+C\\<br /> I=&-\arccos{(\dfrac{x}{2})}+C<br /> \end{aligned}<br />$$

Como comentario final para este criterio solamente queda mencionar que en el caso de obtener como resultado una función trigonomética $f(t)$ que no se pueda reemplazar directamente, se tendrá que hacer uso de algunas identidades trigonmétricas hasta que sea expresada en senos, cosenos o tangentes y poder ser así reemplazados cada uno de estos términos tomando en cuenta el triángulo pitagórico que se determina con el cambio de variable hecho inicialmente.

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Re: Artículo: ¿Y cómo integro?

Gracias, buen aporte!

[Al2000]

[Beto], un error de edición menor... donde pones "Definición 1.2. Se llama integral definida a una primitiva..." supongo debería decir integral indefinida.

Saludos,

Al