¿Y cómo integro?

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3.2 Integración de funciones racionales

En esta sección se explicará como resolver la siguiente integral:

$$I=\int\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n}\dd x$$

donde $x^2+bx+c$ no tiene raices reales y $n$ es un numero natural. Para resolverla primero se la descompone de reescribe de la siguiente manera:

$$I=\frac{A}{2}\underbrace{\int\frac{2x+b}{(x^2+bx+c)^n}\dd x}_{I_o}+\left(B-\frac{Ab}{2}\right)\underbrace{\int\frac{\dd x}{(x^2+bx+c)^n}}_{I_n}$$

Entonces bastará con calcular:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> I_o&=\int\dfrac{2x+b}{(x^2+bx+c)^n}\dd x\\<br /> I_n&=\int\dfrac{\dd x}{(x^2+bx+c)^n}<br /> \end{aligned}<br />$$

Integración de $\mathbf{I_o }$

Esta integral es sencilla, basta notar que $x^2+bx+c$ es la antiderivada del numerador $2x+b$, entonces:

$$I_o=\frac{1}{(1-n)(x^2+bx+c)^{n-1}}+C$$

Integración de $\mathbf{I_n }$

Si se completa cuadrado en el denominador la integral toma la siguiente forma:

$$I_n=\int\dfrac{\dd x}{\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4}\right)\right]^n}=\int\dfrac{\dd t}{(t^2+a^2)^n}$$

donde se ha hecho $t=\left(x+\frac{b}{2}\right)$ y $a^2=\left(c-\frac{b^2}{4}\right)$, pues $\left(c-\frac{b^2}{4}\right)>0$ ya que el polinomio no tiene raices reales, luego se puede volver a reacomodar esa integral de la siguiente manera:

$$I_n=\int\dfrac{\dd t}{(t^2+a^2)^n}=\frac{1}{a^2}\int\frac{\dd t}{(t^2+a^2)^{n-1}}+\frac{1}{a^2}\int\frac{\dd t}{(t^2+a^2)^n}$$

Luego la segunda integral de la expresión (1), se puede escribir como:

$$\int\frac{\dd t}{(t^2+a^2)^n}=\frac{1}{2n-1}\int t\dd\left(\frac{1}{(t^2+a^2)^{n-1}}\right)$$

entonces si se integra por partes a la última expresión tomando como $u=t\Rightarrow \dd u=\dd t$ y $\dd v=\dd\left(\frac{1}{(t^2+a^2)^{n-1}}\right)\Rightarrow v=\frac{1}{(t^2+a^2)^{n-1}}$, se obtiene que:

$$\frac{1}{2n-1}\int t\dd\left(\frac{1}{(t^2+a^2)^{n-1}}\right)=\frac{1}{2n-1}\left[\frac{t}{(t^2+a^2)^{n-1}}-\int\frac{\dd t}{(t^2+a^2)^{n-1}}\right]$$

que al reemplazarse en la expresión (1), se obtiene:

$$I_n=\frac{1}{2a^2(k-1)}\left[\frac{t}{(t^2+a^2)^{n-1}}+(2k-3)\underbrace{\int\frac{\dd t}{(t^2+a^2)^{n-1}}}_{I_{n-1}}\right]$$

Luego se repite el proceso hasta llegar a obtener $\dst I_1=\int\frac{\dd t}{t^2+a^2}$ que según la tabla de integrales inmediatas proporcionada al inicio es igual a $I_1=\dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{t}{a}\right)+C$

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Re: Artículo: ¿Y cómo integro?

Gracias, buen aporte!

[Al2000]

[Beto], un error de edición menor... donde pones "Definición 1.2. Se llama integral definida a una primitiva..." supongo debería decir integral indefinida.

Saludos,

Al