¿Y cómo integro?

[BACANALATOR]

3.3 Integración por fracciones parciales

Supongamos que se tiene una función racional de la siguiente forma:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}$$

tal que $n>m$ y además $B(x)$ puede ser expresado de la siguiente manera:

$$Q(x)=(x-c_1)^{n_1}\dots(x-c_n)^{n_n}(x^2+d_1x+e_1)^{m_1}\dots(x^2+d_mx+e_m)^{m_m})$$

donde los términos cuadráticos no tienen raices reales y $n_1,\dots,n_n,m_1,\dots ,m_m$ son números enteros positivos. Entonces este tipo de función racional se puede escribir de la siguiente manera:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{P(x)}{Q(x)}=&\frac{A_0}{(x-c_1)^{n_1}}+\dots+\frac{A_{n_1-1}}{(x-c_1)}+\frac{B_0}{(x-c_n)^{n_n}}+\dots+\frac{B_{n_n-1}}{(x-c_n)}+\\<br /> &\dots+\frac{C_0+D_0x}{(x^2+d_1x+e_1)^{m_1}}+\dots+\frac{C_{m_m-1}+D_{m_m-1}x}{(x^2+d_mx+e_m)}<br /> \end{aligned}<br />$$

Donde las constantes se determinan luego de multiplicar por $B(x)$ a ambos lados, expandir y agrupar términos semejantes a la derecha y comparar los coeficientes con el lado izquierdo.

Luego si se tiene que intgrar $\dst \int \frac{P(x)}{Q(x)}\dd x$ solamente bastará con escribir a la función racional en la forma (f.par) determinar las constantes y luego integrar cada uno de los términos, según se ha visto en secciones anteriores.

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \int \dfrac{1}{x-a}\dd x&=\text{ver seccion 1}\\<br /> \int\dfrac{1}{(x-a)^n}\dd x&=\text{ver seccion 1}\\<br /> \int\dfrac{1}{(x^2+bx+c)^2}\dd x&=\text{ver seccion 3.4}\\<br /> \int\dfrac{1}{(x^2+bx+c)^n}\dd x&=\text{ver seccion 3.4}<br /> \end{aligned}<br />$$

Finalmente se puede mencionar un caso particular, y es cuando la función racional se puede expandir de la siguiente manera:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{x-c_1}+\frac{A_2}{x-c_2}+\dots+\frac{A_n}{x-c_n}$$

las constantes se pueden determinardela siguiente manera:

$$A_k=\left[\frac{P(x)}{Q(x)}(x-c_k)\right]_{x=c_k}$$

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Re: Artículo: ¿Y cómo integro?

Gracias, buen aporte!

[Al2000]

[Beto], un error de edición menor... donde pones "Definición 1.2. Se llama integral definida a una primitiva..." supongo debería decir integral indefinida.

Saludos,

Al