Superposición de estados y Colapso

[Sartie]

Bueno este es el punto caliente de la mecánica cuántica según la mayoría. Y los libros de divulgación se despachan a gusto con él. De todos será conocido el Gato de Schrödinger que es una representación de este problema.

Intentaré ser lo más explícito posible sin abusar del formalismo. Esto ocasionara algunas imprecisiones que se subsanaran con las contribuciones de los compañeros. Pero también soy de la opinión que para evitar confusiones hemos de dejar los ejemplitos y buscar al menos un cierto grado de formalidad. Si hacemos esto llegaremos a entender bien los ejemplos.

Como comentamos en el apartado Principio de Indeterminación, las cosas que podemos medir en cuántica, los observables, se expresan en virtud de unos objetos denominados operadores.

La cuestión central es determinar las propiedades que debe tener un operador para ser considerado representante de un observable en cuántica. Una de esas propiedades es la propiedad denominada de linealidad. Los observables han de ser operadores lineales.

Recordemos que un operador es un objeto que actúa sobre unos determinados elementos para dar otros en función de una cierta regla. Supongamos que tenemos el espacio de polinomios. Y un operador D, cuya regla es hacer la derivada. Si lo hacemos actuar sobre x^2:

Dx^2 = 2x

Pero existen polinomios especiales que no se ven alterados, por ejemplo ex (cuya expansión de Taylor es polinómica).

Dexp(ax) = aexp(ax)

Estas son las denominadas funciones propias del operador.

Tenemos un operador, O, que es un observable, al ser lineal cumplirá:

O(af) = a O(f)

O(f+g) = O(f) + O(g)

Combinando ambas, O(a f+b g) = aO(f) + bO(g)


Donde a,b son constantes que pueden ser complejas, y f, g funciones del espacio sobre el que actua el operador 0.

Ahora consideremos un observable específico, la energía, a este operador se le denomina Hamiltoniano, (Supongo que en el diccionario de mecánica se hará referencia al mismo en alguna ocasión), y lo representaremos por H. Sus funciones son aquellas que tienen un valor definido de la energía.

Imaginemos un sistema que sólo tiene dos estados A y B (representan estados o funciones de onda). Clásicamente el sistema solo puede tener una energía E(A) o E(B). Lo que correspondería a lo siguiente:

H A = E(A) A

H B = E(B) B

Sin embargo, en mecánica cuántica podremos emplear una superposición de estados

cA + dB (c,d son constantes generalmente complejas, y suponemos que la suma de sus módulos es 1.)

Al aplicar el Hamiltoniano:

H (cA + dB) = H (cA) + H (dB) = cE(A) A + d E(B) B

Es evidente que el estado final no es el mismo que el estado inicial. Por lo tanto tras hacer actuar el Hamiltoniano la energía del sistema está indeterminada. No esta ni en el nivel A ni en el nivel B.

Ahora bien, el problema esencial es que al efectuar una medida de energía del sistema siempre obtenemos E(A) o E(B), pero no situaciones intermedias que están permitidas en la evolución cuántica. Es decir en la medida pasamos de un estado A+B al estado A, o al estado B. Esto es lo que se conoce como colapso del estado cuántico. Al intentar encontrar una medida microscópica la superposición de estados se rompe, además la rotura no es predecible, simplemente sabemos que la probabilidad de que obtengamos E(A) es $c^2$, y la de obtener E(B) es $d^2$.

Esto es una probabilidad, por lo que no tendremos ningun poder predictivo en experiencias individuales. De hecho las confirmaciones experimentales de la mecánica cuántica se establecen en función de los valores esperados de las magnitudes. (Seguramente se defina valor esperado en otra entrada del diccionario, grosso modo, es la media ponderada por las probabilidades de obtener el resultado de una variable.)

Ahora podemos tomar esta breve discusión y aplicarla al problema del gato.

[Sartie]

Muy buena introducción