¿Qué es un diferencial?

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola alexpglez. Justamente lo que intentamos es quitar de la mesa todas esas "malas prácticas" y ver qué queda. Definir el diferencial usando esa forma abusiva no es riguroso y lleva a tantos aciertos como errores. Sobre el resto de lo que has dicho no hay ninguna duda y lo comparto, la historia en que la discusión se ha encallado con el $dx=x$.

¿En qué mensaje aparece $dx=x$? Y sé que es estúpida la pregunta, pero, ¿cómo podéis llegar a esa conclusión tan errónea?

Perdona Jabato, no respondí porque no sabía a quien indicabas la pregunta:

1): es una variable real independiente que en este caso vale .

2) : es una variable real dependiente que en este caso vale .

3) : es una variable real independiente que puede tomar cualquier valor real, sin restricción alguna.

4) : es una variable real independiente que puede tomar cualquier valor real, sin restricción alguna.

5) : es una variable real dependiente y su valor es

6) : es una variable real dependiente y su valor es

¿Cuales de las siguientes afirmaciones no son ciertas en vuestra opinión?

A priori todas falsas, ya que $x$ puede tomar cualquier valor (Real o complejo), y $y=f(x)$ puede tomar cualquier valor que se corresponda con un x por esa ecuación. Entonces modificando 1) y 2) (y las demás) tomando como $x=a$ y $y=f(a)$ dos valores particulares (que es lo que intentas aclarar anteriormente). Paso a responder.
1) Correcto
2) Correcto
3) Se podría llamar variable o no, dependiendo del contexto. ¡Es mejor llamarle: incremento de la variable!
4) No, no es una variable, es una expresión (dierencial), no puede tomar cualquier valor, como ya explique en mi anterior mensaje es el límite cuando el incremento tiende a 0.
5) Lo dicho ya, llamarlo variable dependiente de $\Delta y(x,\Delta x)$ me parece un poco redundante, pero depende de como lo definamos. Yo lo llamaría incremento de la variable dependiente debido a un incremento de la independiente.
6) Falso. Igual que en 4, es una expresión, una simplificación de límite cuando el incremento y tiende a cero.

- - - Actualizado - - -

Hola alex disculpa las molestias , pero si es cierto entonces no entiendo por que pensar que es erroneo

No, no me expliqué bien entonces. No es erróneo, es una notación que lleva a conceptos erróneos como los que suscitaron la apertura y continuidad de este hilo.
Pero toda notación, al ser algo puramente formal, es correcta.

- - - Actualizado - - -

Weip, decirte que pedagógicamente hablando, tu mensaje #65 es mejor que mi anterior mensaje aunque el contenido sea el mismo prácticamente.
Permitidme hacer una observación que se ha repetido bastantes mensajes por lo que veo, y es erróneo, definiendo $d$ y $\Delta$ de la manera estándar.
Esto es falso:

$$\Delta x=dx$$

$$df=f'(x) \Delta x$$

$$df=\Delta f$$

$$\Delta f=f'(x) \Delta x$$

La explicación, como ya dije en mi mensaje #86, es que definiendo:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Tenemos que llamando $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$:

$$\Delta f=f'(x)\Delta x + \lambda(x,\Delta x) \;\;\;\; \lim_{\Delta x \to 0} \lambda(x, \Delta x)=0$$

Ó también podemos escribir:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f= \lim_{\Delta x \to 0} f'(x)\Delta x$$

$$\lim_{\Delta f \to 0} \Delta f= f'(x) \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x$$

Esta última igualdad dado que $\Delta x \to 0 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\; \Delta f \to 0$ y f'(x) existe si la función es derivable.

Es aquí donde podemos definir la operación "diferenciar" como operación que nos da la relación entre dos "diferenciales":

$$d f= f'(x) d x$$

Quizá, tengo una duda aquí, sobre si la operación "diferenciar" y el concepto "diferencial" junto con la notación dada, ¿debe ser una definición? ya que definir el diferencial como $d=\lim_{\Delta \to 0} \Delta$ inspirado en la relación 1, nos da 0, $d=0$, 0 0 0 0 0 0 0!!!!!!. Y por tanto el concepto de diferencial debería definirse relativo a la relación 1, y no exactamente (numéricamente) igual a la expresión 1.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¿En qué mensaje aparece $dx=x$? Y sé que es estúpida la pregunta, pero, ¿cómo podéis llegar a esa conclusión tan errónea?

Aparece en casi todas mis intervenciones y en la última de justinux. Antes de afirmar que es errónea lee los mensajes #65 y #77. Te hago una explicación rápida: $dx=x'(a)x=1\cdot x=x$. Vamos, que la derivada de $x$ respecto a $x$ es uno.

Hola alex disculpa las molestias , pero si es cierto entonces no entiendo por que pensar que es erroneo

No, no me expliqué bien entonces. No es erróneo, es una notación que lleva a conceptos erróneos como los que suscitaron la apertura y continuidad de este hilo.
Pero toda notación, al ser algo puramente formal, es correcta.

Ambas expresiones son falsas. El límite de una división no es división de límites si el límite del denominador se anula. La segunda el problema es que siempre es cero.

Me gustaría resumir a danielandresbru los puntos clave más allá de nuestro debate:

-Los diferenciales no son infinitesimales, pero en física es útil pensar así porque te ahorra varios dolores de cabeza así que se usan como atajo para razonar. Además que tiene una interpretación fácil de entender.
-La derivada no es un cociente de diferenciales. La derivada se define como un límite y $df/dx$ es una notación. Aún así, por el mismo motivo que antes, en física es útil pensar que lo es.

Permitidme hacer una observación que se ha repetido bastantes mensajes por lo que veo, y es erróneo, definiendo $d$ y $\Delta$ de la manera estándar.

Antes de seguir, ¿eres consciente de que $d$ no significa nada? El diferencial de una función es $df$: que el dominio sean los reales y no un espacio de funciones es importante.

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[FONT=Verdana]Esto es falso:[/FONT]
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$$\Delta x=dx$$

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$$df=f'(x) \Delta x$$

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$$df=\Delta f$$

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$$\Delta f=f'(x) \Delta x$$

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(3) y (4) son falsos, (1) y (2) no. He leído el resto pero se viene abajo con lo que he explicado en este mismo mensaje.

Vuelvo a repetir, el mensaje #65 sirve para algo jajaja. Si no os convence decidme donde está os parece que está el error.[/FONT]

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, Weip, la pregunta la hice de forma general porque creo que muestra la posición de todo aquel que la responda, y es una forma de resumir el debate. Para mi todas las afirmaciones que escribí son correctas en la forma que se muestran escritas, debes tener en cuenta que las preguntas son relativas a una función real de variable real así que no entiendo el porqué dices que tanto la variable como la función pueden tomar valores complejos, no, solo pueden tomar valores reales por el propio enunciado de la pregunta.

Teniendo en cuenta lo anterior x, e y son respectivamente la variable (real) independiente y dependiente. La primera es independiente porque puede tomar cualquier valor y la segunda depende de los valores que toma la primera, así que tal y como yo lo veo las dos primeras son correctas tal como se muestran en el enunciado original. Una relación parecida se muestra entre los incrementos, que también toman valores reales y entre los que existe la relación:

$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$

y análogamente entre los diferenciales:

$dy=y'(x)dx$

En todos los casos toman valores reales asi que para mi son todas correctas tal y como las expuse.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, Weip, la pregunta la hice de forma general porque creo que muestra la posición de todo aquel que la responda, y es una forma de resumir el debate. Para mi todas las afirmaciones que escribí son correctas en la forma que se muestran escritas, debes tener en cuenta que las preguntas son relativas a una función real de variable real así que no entiendo el porqué dices que tanto la variable como la función pueden tomar valores complejos, no, solo pueden tomar valores reales por el propio enunciado de la pregunta.

¿Eso no lo ha dicho alexpglez? En todo caso si en algún momento he dicho que la variable puede ser compleja, pues se me habrá ido la olla jajaja.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, Weip, la pregunta la hice de forma general porque creo que muestra la posición de todo aquel que la responda, y es una forma de resumir el debate. Para mi todas las afirmaciones que escribí son correctas en la forma que se muestran escritas, debes tener en cuenta que las preguntas son relativas a una función real de variable real así que no entiendo el porqué dices que tanto la variable como la función pueden tomar valores complejos, no, solo pueden tomar valores reales por el propio enunciado de la pregunta.

Perdona, no leí función real de variable real. De todas formas no modifica mi mensaje.

Antes de seguir, ¿eres consciente de que no significa nada? El diferencial de una función es : que el dominio sean los reales y no un espacio de funciones es importante.

Vale, he revisado mi libro de cálculo, y veo que llevas toda la razón y me estaba equivocando, yo entendía la diferencial como el concepto que expuse antes. Ahora explico en que me equivocaba, quiero aclarar y preguntar sobre el cálculo anterior que ya expuse:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Deshaciendo el límite:

$$f'(x)+\alpha=\frac{\Delta f}{\Delta x} \;\;\;\; \lim_{\Delta x \to 0} \alpha=0$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f= \lim_{\Delta x \to 0} (f'(x) \Delta x+\alpha \Delta x)= f'(x) \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x+\lim_{\Delta x \to 0} \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x$$

Cómo $\Delta x \to 0 \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; \Delta f \to 0$ puesto que es derivable (trabajamos con funciones derivables).

$$\lim_{\Delta f \to 0} \Delta f= f'(x) \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x$$

No sé en dónde está el error. Cierto es que hice dos pasos en uno llamando $\lambda(x, \Delta x)=\alpha(x, \Delta x) \Delta x$.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Creo que hemos perdido el hilo de la discusión. Voy a hacer un intento por recuperarlo pero si no lo consigo pues la cosa se pone complicada, hay demasiadas ideas mezcladas y eso no es bueno para el debate. Hasta un determinado punto que considero que es coherente, habíamos concluido Weip y yo que para poder justificar el paso:

(1) $dy=y'h=y'\Delta x\qquad\to\qquad dy=y'dx$ (2)

era necesario presuponer esto otro:

$h=\Delta x =dx$ (3)

razonamiento que se muestra en los mensajes #65 al #67. Yo personalmente no estoy de acuerdo con esta última igualdad y considero que no pueden ligarse los valores de $\Delta x$ y $dx$ pero si tal cosa no puede hacerse entonces no parece posible ligar (2) con el concepto de función diferenciable.

La cuestión estriba en si debemos aceptar (3) en todos los casos, yo entiendo que no, que los valores que toman una y otra expresión son independientes y en ese punto está el debate, lo demás han sido flecos que le han salido al hilo.

Las conclusiones serían entonces:

1.- Si puede aceptarse (3) entonces el paso de (1) a (2) es correcto
2.- Si no puede aceptarse (3) entonces es necesario establecer de donde sale la ecuación (2) ya que no es posible ligarla con el concepto de función diferenciable de acuerdo con su definición formal que se muestra en el mensaje #65 de Weip.

NOTA: Os agradecería os centrarais en esta idea, ya que de otra forma no va a haber manera de aclararnos.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Voy a terminar de escribir, además creo que responde a lo que dices Jabato.
Mi error está en que consideraba el diferencial como una expresión simplemente, útil para aproximar y como notación para el cálculo diferencial e integral, pero sin significado. Entiendo mejor ahora lo que queréis decir, tomando 3:

$$\Delta f= f'(x)\Delta x + \alpha \Delta x=df+ \alpha \Delta x$$

Definiendo entonces el diferencial como el término de primer orden con respecto a la variación, ya que expandiendo por una serie de taylor del $\Delta x$:

$$f(x+\Delta x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} \frac{d^n f(x+\Delta x)}{d (\Delta x)^n}\vert_{\Delta x=0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$$

$$f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\Delta x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$$

Entonces: $df=f'(x) \Delta x$ y $\alpha \Delta x=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$.
Sin embargo esto sólo es verdad cuando consideramos $x$ como independiente. Ya que si valiese para dependientes tendríamos dos fórmulas diferentes:

$$df=f'(x(t)) \Delta t=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt} \Delta t$$

O con 3, aplicándolo una segunda vez sobre x:

$$df=\frac{df}{dx}\Delta x=\frac{df}{dx}(\frac{dx}{dt}\Delta t+ \alpha' \Delta t)$$

- - - Actualizado - - -

Yo creo que podemos definir diferencial, como aproximación lineal o de primer orden de la variación de la variable independiente, de la expresión:

$$f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$$

Que calculando el término de primer orden:

$$df=f'(x)\Delta x$$

Esto soluciona la duda anterior que tenía sobre la función compuesta, puesto que si sólo con respecto a la variable independiente, la fórmula correcta es la (1), además permite demostrar (2) y (3) que indica Jabato:

$$df=f'[x(t)] \Delta t=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt} \Delta t$$

Pero como

$$dx=\frac{dx}{dt}\Delta t$$

Combinamos las dos.

$$df=\frac{df}{dx}dx$$

Para obtener 3, basta calcular la aproximación lineal de la función $f(x)=x$.

$$d x=df= \frac{df}{dx}\Delta x=\Delta x$$

Saludos

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

era necesario presuponer esto otro:

$h=\Delta x =dx$ (3)

No, no es necesario presuponerlo, se deduce de (1). Aplica (1) para el caso particular $y(x)=x$. Tienes que $dy(x)=dx(x)=x'(a)x=x$ porque $x'(a)=1$. Insistir que lo mismo vale si ponemos $y(x)=\Delta x$, $y(t)=t$... Lo único que he usado es que $\dst\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}x }(a)=1$ (y esto último es una derivada).

Aclarar lo que hay en el mensaje 65 porque está todo un poco mezclado: a partir de la definición de diferenciabilidad deduzco que:

1) Diferenciabilidad en una variable es equivalente a derivabilidad.
2)$dy(x)=y'(a)x$
3)$dx(x)=x$
4)$dy(x)=y'(a)dx$

Voy a terminar de escribir, además creo que responde a lo que dices Jabato.
Mi error está en que consideraba el diferencial como una expresión simplemente, útil para aproximar y como notación para el cálculo diferencial e integral, pero sin significado. Entiendo mejor ahora lo que queréis decir, tomando 3:

$$\Delta f= f'(x)\Delta x + \alpha \Delta x=df+ \alpha \Delta x$$

Definiendo entonces el diferencial como el término de primer orden con respecto a la variación, ya que expandiendo por una serie de taylor del $\Delta x$:

$$f(x+\Delta x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} \frac{d^n f(x+\Delta x)}{d (\Delta x)^n}\vert_{\Delta x=0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$$

$$f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\Delta x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$$

Entonces: $df=f'(x) \Delta x$ y $\alpha \Delta x=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$.
Sin embargo esto sólo es verdad cuando consideramos $x$ como independiente. Ya que si valiese para dependientes tendríamos dos fórmulas diferentes:

$$df=f'(x(t)) \Delta t=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt} \Delta t$$

O con 3, aplicándolo una segunda vez sobre x:

$$df=\frac{df}{dx}\Delta x=\frac{df}{dx}(\frac{dx}{dt}\Delta t+ \alpha' \Delta t)$$

- - - Actualizado - - -

Yo creo que podemos definir diferencial, como aproximación lineal o de primer orden de la variación de la variable independiente, de la expresión:

$$f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$$

Que calculando el término de primer orden:

$$df=f'(x)\Delta x$$

Esto soluciona la duda anterior que tenía sobre la función compuesta, puesto que si sólo con respecto a la variable independiente, la fórmula correcta es la (1), además permite demostrar (2) y (3) que indica Jabato:

$$df=f'[x(t)] \Delta t=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt} \Delta t$$

Pero como

$$dx=\frac{dx}{dt}\Delta t$$

Combinamos las dos.

$$df=\frac{df}{dx}dx$$

Para obtener 3, basta calcular la aproximación lineal de la función $f(x)=x$.

$$d x=df= \frac{df}{dx}\Delta x=\Delta x$$

Saludos

Ahí está la historia. Explicación perfecta.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, creo que esta vez me habéis convencido. Resumiendo lo anterior podemos concluir que la relación:

$dy=y'(x)dx$

es perfectamente válida, de aplicación general, tanto para funciones simples o compuestas, y se deduce de la definición de función diferenciable.

Si estáis de acuerdo con esto por mi vale también.

La primera consecuencia de esto es que a partir de este momento podemos tratar la primera derivada como un cociente de diferenciales, y operar con ella como si fuera un cociente de números reales. Os recuerdo que hablamos siempre de funciones reales de una sola variable real. ¿Estamos de acuerdo?

$dy=y'(x)dx\qquad\to\qquad y'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}$

Se me ocurre ahora una pregunta, ¿podemos hacer una deducción similar para demostrar la expresión clásica del diferencial de una función real de varias variables reales partiendo a su vez de la definición de función diferenciable? Se trataría de demostrar rigurosamente que:

$F=F(x,y,z,...)\qquad\to\qquad dF=F_xdx+F_ydy+F_zdz+...$

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, creo que esta vez me habéis convencido. Resumiendo lo anterior podemos concluir que la relación:

$dy=y'(x)dx$

es perfectamente válida, de aplicación general, tanto para funciones simples o compuestas, y se deduce de la definición de función diferenciable.

Si estáis de acuerdo con esto por mi vale también.

La primera consecuencia de esto es que a partir de este momento podemos tratar la primera derivada como un cociente de diferenciales, y operar con ella como si fuera un cociente de números reales. Os recuerdo que hablamos siempre de funciones reales de una sola variable real. ¿Estamos de acuerdo?

$dy=y'(x)dx\qquad\to\qquad y'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}$

Salu2, Jabato.

En mi libro de cálculo viene que si. Y sí, parece totalmente correcta, definiendo los diferenciales como funciones de otros diferenciales.

Otra cosa es a lo que me refería en mi primer mensaje, diferenciar y dividir los diferenciales, no tiene nada que ver con dividir dos cantidades muy pequeñas.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Efectivamente, los diferenciales no son necesariamente cantidades muy pequeñas, toman valores reales al igual que las funciones a las que se aplican, esa posición llevo defendiéndola yo desde hace mucho tiempo y tiene mucha relación con el concepto de elemento diferencial que se utiliza a menudo en física. Será el punto que trataremos más adelante, pero eso es harina de otro costal.

Por otro lado podemos afirmar que si, para una función de la forma $y=f(x)$, damos valores reales a $\Delta x=dx$:

La expresión vectorial $\mathbf p(x,y)+\mathbf {\Delta p}(\Delta x,\Delta y)$ recorre la gráfica de la función

La expresión vectorial $\mathbf p(x,y)+\mathbf{dp}(dx,dy)$ recorre la gráfica de su recta tangente.


claro está admitiendo que se cumplen las:

$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\qquad\qquad dy=y'(x)dx$

¿Estamos de acuerdo?

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, creo que esta vez me habéis convencido. Resumiendo lo anterior podemos concluir que la relación:

$dy=y'(x)dx$

es perfectamente válida, de aplicación general, tanto para funciones simples o compuestas, y se deduce de la definición de función diferenciable.

Si estáis de acuerdo con esto por mi vale también.

Entonces tema zanjado.

La primera consecuencia de esto es que a partir de este momento podemos tratar la primera derivada como un cociente de diferenciales, y operar con ella como si fuera un cociente de números reales. Os recuerdo que hablamos siempre de funciones reales de una sola variable real. ¿Estamos de acuerdo?

$dy=y'(x)dx\qquad\to\qquad y'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}$

Estarás de acuerdo conmigo en que, por definición de diferenciabilidad, solo tenemos dos operaciones disponibles: suma de diferenciales y producto de un escalar real por un diferencial. Cuando hablamos de división solemos referirnos a la inversa respecto al producto de diferenciales, pero en nuestro caso no tenemos producto. El cálculo diferencial no necesita de la división de diferenciales y que yo sepa esta operación no está definida. Así que yo propongo esta primera aproximación. Creamos una aplicación que a cada diferencial $df_a$ le corresponda $f'(a)$. El dominio sería el conjunto de diferenciales de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y la imagen el conjunto de funciones con primitiva (es decir, exijo que los elementos de la imagen sean la derivada de alguna función). A la práctica funciona como una división entre un diferencial $df$ y $dx$. Por supuesto si tú u otro usuario sí conoce una definición rigurosa que la diga, pero yo nunca la he visto. Si quieres decir una división entre dos diferenciales cualesquiera se puede tomar $df/dg=f'/g'$ y todo cuadra, también para el caso $g(x)=x$. Es otra opción incluso más general. Pero insisto en que ambas opciones se van de lo que se entiende normalmente por división (operación inversa del producto).

Se me ocurre ahora una pregunta, ¿podemos hacer una deducción similar para demostrar la expresión clásica del diferencial de una función real de varias variables reales partiendo a su vez de la definición de función diferenciable? Se trataría de demostrar rigurosamente que:

$F=F(x,y,z,...)\qquad\to\qquad dF=F_xdx+F_ydy+F_zdz+...$

Tal como vamos mejor ir de una respuesta en una respuesta. En todo caso la deducción es análoga al caso de una variable. Ya si eso mañana lo detallo (si no lo hace alguien más antes).

Por otro lado podemos afirmar que si, para una función de la forma $y=f(x)$, damos valores reales a $\Delta x=dx$:

La expresión vectorial $\mathbf p(x,y)+\mathbf {\Delta p}(\Delta x,\Delta y)$ recorre la gráfica de la función

La expresión vectorial $\mathbf p(x,y)+\mathbf{dp}(dx,dy)$ recorre la gráfica de su recta tangente.


claro está admitiendo que se cumplen las:

$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\qquad\qquad dy=y'(x)dx$

¿Estamos de acuerdo?

Salu2, Jabato.

Por mi parte sí.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

La verdad es que me preocupa este asunto solo por el uso (abuso según dicen algunos) que se suele hacer en los desarrollos de la física de la notación de Leibniz. El hecho de que quede perfectamente justificado que la derivada de una función real de variable real se pueda expresar como un cociente de diferenciales queda perfectamente justificado por lo expuesto ya. No estoy hablando del cociente de diferenciales en general, no, estoy hablado solo de los casos ya vistos de funciones reales de una sola variable real, para las que tanto $dy$ como $dx$ toman valores reales y por lo tanto dichos valores pueden dividirse tal y como se hace con los números reales, en otros casos no es posible plantear la derivada como un cociente, completamente de acuerdo, y no es esa mi intención.

Bueno, parece que el hilo progresa adecuadamente.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Voy a terminar de escribir, además creo que responde a lo que dices Jabato.<br>
Mi error está en que consideraba el diferencial como una expresión simplemente, útil para aproximar y como notación para el cálculo diferencial e integral, pero sin significado. Entiendo mejor ahora lo que queréis decir, tomando 3:<br>

$$\Delta f= f'(x)\Delta x + \alpha \Delta x=df+ \alpha \Delta x$$

<br>
Definiendo entonces el diferencial como el término de primer orden con respecto a la variación, ya que expandiendo por una serie de taylor del $\Delta x$:<br>

$$f(x+\Delta x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} \frac{d^n f(x+\Delta x)}{d (\Delta x)^n}\vert_{\Delta x=0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$$

$$f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\Delta x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$$

<br>
Entonces: $df=f'(x) \Delta x$ y $\alpha \Delta x=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$.<br>
Sin embargo esto sólo es verdad cuando consideramos $x$ como independiente. Ya que si valiese para dependientes tendríamos dos fórmulas diferentes:<br>

$$df=f'(x(t)) \Delta t=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt} \Delta t$$

<br>
O con 3, aplicándolo una segunda vez sobre x:<br>

$$df=\frac{df}{dx}\Delta x=\frac{df}{dx}(\frac{dx}{dt}\Delta t+ \alpha' \Delta t)$$

<br>
<br>
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<br>
Yo creo que podemos definir diferencial, como aproximación lineal o de primer orden de la variación de la variable independiente, de la expresión:<br>

$$f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$$

<br>
Que calculando el término de primer orden:<br>

$$df=f'(x)\Delta x$$

<br>
<br>
Esto soluciona la duda anterior que tenía sobre la función compuesta, puesto que si sólo con respecto a la variable independiente, la fórmula correcta es la (1), además permite demostrar (2) y (3) que indica Jabato:<br>

$$df=f'[x(t)] \Delta t=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt} \Delta t$$

<br>
Pero como

$$dx=\frac{dx}{dt}\Delta t$$

<br>
Combinamos las dos.<br>

$$df=\frac{df}{dx}dx$$

<br>
<br>
Para obtener 3, basta calcular la aproximación lineal de la función $f(x)=x$.<br>

$$d x=df= \frac{df}{dx}\Delta x=\Delta x$$

<br>
<br>
Saludos

De aqui

$$f(x+\Delta x)-f(x)= f'(x)\Delta x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$$

se sigue:$\Delta f= f'(x)\Delta x+\dst\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\Delta x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$, pero como: $\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x= dx =0$ resulta que: $\Delta f = 0 = \lim_{\Delta f \to 0 }\Delta f =df$

Ademas no es necesario expandir el polinomio de Taylor al infinito puedes usar el residuo $R_n=\dst \frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)! }f^{n+1}(c)$ con $c$ comprendido entre el $\Delta x$, y si se quiere se puede tomar $n=0$ resultando:$\Delta f =f'(\zeta) \Delta x$ con $\zeta \in \Delta x$ que es nadamenos que el theorema del v. m. de Lagrange, para finalmente deducir que $df = f'(\zeta)dx$ o $0 = 0$

Saludos

- - - Actualizado - - -

Sinceramente Jose no me he enterado de nada jajaja. Es que no veo coherencia en tus palabras. ¿De donde sacas que $dx=\Delta x=0$? ¿Y luego lo del infinito por cero?


Jose, mira el mensaje #65. Cálculo diferencial de primero/segundo puro y duro. Aunque me gusten las formas diferenciales, realmente no aportan nada a la definición de diferencial de una función.


Te invito a volver a buscar lo que decía exactamente Euler porque su cita no apoya tus argumentos.

Escribi $dx =\Delta x$ en vez $dx=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x$ por ya me estaba aburriendo de decir que las diferenciales son ceros 0000000000000000000000 ups!

teorica.fis.ucm.es/ft8/Euler.Bombal.pdf

www.brainyquote.com/quotes/authors/l/leonhard_euler.html

y como yo se que capacidades tengo, no me gustaria contradecir a Euler, pero si me atreveria a contradecir a un Doctor en mate "especialmente si no tienge la razon".

saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Escobedo, los números infinitesimales no existen en el campo de los reales, lo único que dijo Euler es que un número real positivo tan pequeño como queramos es 0, pero los diferenciales no son números infinitesimales, son números reales finitos, tan reales y finitos como puedan serlo los valores que toman las variables $x$ e $y$ Deberías molestarte en leer algo de lo que hemos escrito y tratar de entenderlo porque si no cambias tu punto de vista no vas a entender nada de lo que se escriba en el hilo.

Salu2, Jabato.