Movimiento relativo

Vamos a llamar sistema "1" a un sistema inercial de origen "O1", sistema "0" a un sistema móvil intermedio de origen "O" y sistema "2" al sistema ligado a la partícula que se estudia y centrado en la propia partícula "P".

Empecemos aclarando la notación con algunos ejemplos:

Cuando escribimos un vector, el subíndice hace referencia al punto que describimos, el primer subíndice al sistema al que está ligado (al que pertenece) y el segundo subíndice al sistema desde el que se observa. Unos ejemplos:

La notación elegida para la posición de "P", que está ligada a "2" vista desde "1" será:
$\vec{r}_{21}^{P}$

La velocidad angular del sistema "0" respecto al sistema "1" será:
$\vec{\omega}_{01}$

La aceleración del punto "O", origen del sistema "0", vista desde "1" será:
$\vec{a}_{01}^{O}$

Una vez tenemos la notación aclarada, recordamos la fórmula de Poisson, que nos dice cómo está relacionada la variación temporal de un vector cualquiera $\vec{A}$ observada desde distintos sistemas ("0" y "1"):

$\left[\frac{d\vec{A}}{dt}\right]_{1}=\left[\frac{d\vec{A}}{dt}\right]_{0}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{A}$


Vamos a relacionar ahora, simplemente sumando vectores, la posición de "P" respecto a "1" y a "0":

$\vec{r}_{21}^{P}=\vec{r}_{20}^{P}+\vec{r}_{01}^{0}$

(que es lo mismo que $\overrightarrow{O_{1}P}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O_{1}O}$).

Para hallar la velocidad de "P":

$\vec{v}_{21}^{P}=\left[\frac{d\vec{r}_{21}^{P}}{dt}\right]_{1}=\left[\frac{d\vec{r}_{20}^{P}}{dt}\right]_{1}+\left[\frac{d\vec{r}_{01}^{O}}{dt}\right]_{1}$

que, aplicando la fórmula de Poisson:

$\vec{v}_{21}^{P}=\left[\frac{d\vec{r}_{20}^{P}}{dt}\right]_{0}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P}+\vec{v}_{01}^{O}$

$\vec{v}_{21}^{P}=\vec{v}_{20}^{P}+\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P}$

A $\vec{v}_{21}^{P}$ la llamamos velocidad absoluta, a $\vec{v}_{20}^{P}$ velocidad relativa y a $\vec{v}_{01}^{P}=\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P}$ velocidad de arrastre (realmente, P no está ligado a "0", pero es la velocidad que tendría si "P" fuese un punto del sólido rígido "0": por eso la denominación de velocidad de arrastre).


Ahora hacemos lo mismo para la aceleración:

$\vec{a}_{21}^{P}=\left[\frac{d\vec{v}_{21}^{P}}{dt}\right]_{1}=\left[\frac{d\vec{v}_{20}^{P}}{dt}\right]_{1}+\left[\frac{d\vec{v}_{01}^{O}}{dt}\right]_{1}+\left[\frac{d}{dt}\left(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P}\right)\right]_{1}$

que, usando la fórmula de Poisson y ordenando términos resulta, por fin, el llamado teorema de Coriolis:

$\vec{a}_{21}^{p}=\left[\frac{d\vec{v}_{20}^{P}}{dt}\right]_{0}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{p}+\vec{a}_{01}^{O}+\left[\frac{d\vec{w}_{01}}{dt}\right]_{1}\times\vec{r}_{20}^{p}+\vec{\omega}_{01}\times\left[\frac{d\vec{r}_{20}^{P}}{dt}\right]_{1}$

$\vec{a}_{21}^{p}=\vec{a}_{20}^{P}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{p}+\vec{a}_{01}^{O}+\vec{\alpha}_{01}^{}\times\vec{r}_{20}^{p}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\left[\frac{d\vec{r}_{20}^{P}}{dt}\right]_{0}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{p}\right)$

$\vec{a}_{21}^{p}=\vec{a}_{20}^{P}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{p}+\vec{a}_{01}^{O}+\vec{\alpha}_{01}^{}\times\vec{r}_{20}^{p}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{v}_{20}^{p}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{p}\right)$

$\vec{a}_{21}^{P}=\vec{a}_{20}^{P}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{P}+\vec{a}_{01}^{O}+\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P})$


Llamamos aceleración absoluta a $\vec{a}_{21}^{P}$, aceleración relativa a $\vec{a}_{20}^{P}$, aceleración de Coriolis a $2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{P}$ y aceleración de arrastre ( a $\vec{a}_{01}^{P}=\vec{a}_{01}^{O}+\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_{20}^{P})$ (realmente P no está ligado a "0", pero es la aceleración que tendría si fuese un punto del sólido rígido "0": por eso la denominación de aceleración de arrastre).

Se puede observar que entre los términos que conforman la aceleración a arrastre se encontraría lo que tradicionalmente se ha venido llamando aceleración centrífuga/centrípeta. Desde mi punto de vista, la denominación centrífuga/centrípeta debería desaparecer de una vez por todas, pues sólo genera confusión.