Corchete de Poisson

Sea $f(t,\ q_i,\ p_i)$ una integral de las ecuaciones de Hamilton (ver Ecuación de Hamilton). Entonces, si se sustituye $q_i$, $p_i$ (i=1,...,n) (donde n es el numero de grados de libertad del sistema )por cualquier solución del sistema, la función f se convierte en una constante por la propia definición de integral de movimiento (ver Integral de Movimiento), es decir

$$\frac{\dd f}{\dd t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) .$$

En notación de Poisson, esto significa que una función f es integral del sistema si y solo si cumple

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \big[f,\ H\big] = 0 .$$

donde $[f,\ H]$ se define como corchetes o paréntesis de Poisson.

Existe una relación formalmente idéntica a ésta en mecánica cuántica que establece la condición necesaria y suficiente para que un observable sea una constante del movimiento en el sentido clásico.

Los paréntesis de Poisson satisfacen las condiciones de

1. Linealidad
2. Asociatividad
3. Antisimetría
4. Identidad de Jacobi

y son análogas a los conmutadores en mecánica cuántica (ver Conmutador).

El corchete o paréntesis de Poisson es el objeto que implementa todo el contenido dinámico de la mecánica y la teoría de campos clásicos. Se puede ver como está relacionado con la acción (ver acción) de la teoría que estemos considerando y como se puede relacionar de una manera más formal con la forma simpléctica (ver forma simpléctica).

La cuestión central es que el corchete de Poisson establece cuales son las variables canónicas del espacio de fases de la teoría (coordenadas generalizadas y momentos canónicamente conjugados).

La evolución dinámica de una función clásica, observable clásico, que depende de coordenadas y momentos se implementa en virtud de los corchetes de Poisson. Es decir, las ecuaciones de Hamilton se pueden expresar en términos de estos corchetes.

Más aún, la cuestión relativa a las conocidas como transformaciones canónicas (ver transformaciones canónica), se pueden expresar como aquellas transformaciones de un conjunto de coordenadas (q,p) a otro (Q,P) que no alteran los corchetes de Poisson. Desde un punto de vista formal diremos que las transformaciones canónicas pertenecen al conjunto de transformaciones que mantienen invariantes al corchete de Poisson de la teoría. (Estas transformaciones que dejan invariantes la forma simpléctica son simplectomorfismos).

Genéricamente se suele decir que las transformaciones canónicas no modifican las ecuaciones de movimiento, esto no es cierto totalmente, ya que hay transformaciones que no siendo canónicas no modifican dichas ecuaciones. La cuestión central es que diremos que una transformación es canónica cuando dejan invariante al corchete de Poisson.