Sistema conservativo generalizado

Un sistema se denomina conservativo genrelizado si el hamiltoniano H (ver ecuaciones canónicas de Hamilton) no depende explicitamente del tiempo, es decir, $H=H(q_i,\ p_i)$

Si expresamos la variación total de la función de H, entonces, durante el movimiento (cumpliéndose las ecuaciones de Hamilton), se tiene que

$$\frac{\dd H}{\dd t}=0.$$

Es decir H=c, donde es una constante arbitraria (que cambia en cada movimiento). En este caso la función H se denomina energía total generalizada y la expresión H=c, integral de energía generalizada.

Para un sistema natural esclerónomo la función de Hamilton representa la energía total del sistema, es decir

$$H(t,q_i,p_i)=T(t,q_i,p_i)+V(t,q_i),$$

donde V es el potencial.

Es de notar que un sistema conservativo (holónomo, esclerónomo y natural en el que el potencial ordinario de las fuerzas no depende explícitamente del tiempo) es un caso particular de sistema conservativo generalizado en el que la integral de energía generalizada coincide con la integral usual del sistema y por tanto, representa una conservación de la energía durante todo el movimiento.

Si el potencial $V(t,\ q_i)$ es el potencial generalizado (vease potencial generalizado), entonces la función H tampoco depende explícitamente del tiempo y este sistema resulta ser un sistema conservativo generalizado.