Ecuaciones canónicas de Hamilton

Las ecuaciones canónicas de Hamilton representan un modo alternativo de tomar las variables que determinan un sistema.

Hamilton propuso considerar en lugar de las variables $t$, $q_i$, $\dd q_i/\dd t$ (variables de Lagrange, con n el número de grados de libertad del sistema) las magnitudes fundamentales $t$, $q_i$, $p_i$ (variables de Hamilton) siendo pi los impulsos generalizados (ver Momentos Canónicos Conjugados).

Puede demostrarse que el jacobiano de los impulsos generalizados, que constituye por definición de momento el hessiano de la función de Lagrange, es distinto de cero; luego es posible resolver las dqi/dt en la forma

$$\dot q_i = \Phi_i (t,\ q_k,\ p_k) , \qquad \text{donde $i = 1, \ldots, n$}.$$

Es decir, encontramos que las variables de Hamilton pueden ser expresadas en función de las variables de Lagrange, y viceversa con lo que podemos caracterizar el estado del sistema con cualquiera de los dos conjuntos.

Hamilton introdujo la función $H(t,\ q_i,\ p_i)$ (función de Hamilton) que se define matemáticamente
como la transformadada de Legèndre de la función de Lagrange (Básicamente lo que se hace mediante esta transformación es la creación, a partir de una función dada de hessiano no nulo, de una nueva función expresada en términos de unas nuevas coordenadas relacionadas con las anteriores por medio de una transformación admisible) es decir

$$H = \sum_{i=1}^n p_i \dot q_i (t,\ q_k,\ p_k) - L(t,\ q_k,\ p_k) .$$

y demostró (se trata de un resultado que se deriva de la transformada de Legèndre) que usando esta función se pueden expresar las ecuaciones de movimiento por medio del siguiente sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd q_i}{\dd t} & = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \\<br /> \frac{\dd q_i}{\dd t} & = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .<br /> \end{aligned}$$

Asimismo es posible, usando la definición de momento canónico, dar la siguiente identidad

$$\frac{\partial L}{\partial t} = - \frac{\partial H}{\partial t} .$$