Teorema de Euler

Este teorema hace referencia a la cinemática de un cuerpo rígido y dice lo siguiente:

Si en relación a un determinado sistema de referencia S un cuerpo rígido tiene un punto inmóvil, entonces el desplazamiento de un cuerpo rígido entre dos posiciones arbitrarias puede describirse como una rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje que pasa por el punto fijo (inmóvil).

Demostración:

Para empezar consideremos un cuerpo rígido, uno e cuyos puntos es fijo. Tenemos que demostrar que el movimiento, en todo instante, puede considerarse debido a una velocidad angular $\omega$ alrededor del punto fijo, el cual podemos tomar como origen y denotarlo por $O$.

Sean $\hat n_{x'}$, $\hat n_{y'}$ ,$\hat n_{z'}$ tres vectores unitarios perpendiculares mutuamente, que están asociados a los ejes $OX'$, $OY'$, $OZ'$ y que pertenecen al cuerpo rígido por tanto se mueven junto con él. Recordando que por ser los tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares se cumple que:

$$\hat {n}_{x'}.\hat n_{x'}=\hat n_{y'}.\hat n_{y'}=\hat n_{z'}.\hat n_{z'}=1$$

$$\hat {n}_{y'}.\hat n_{z'}=\hat n_{z'}.\hat n_{x'}=\hat n_{x'}.\hat n_{y'}=0$$

derivando estas relaciones respecto al tiempo se obtiene que:

$$\dot {\hat n}_{x'}. \hat n_{x'}=\dot {\hat n}_{y'}. \hat n_{y'}=\dot {\hat n}_{z'}. \hat n_{z'}=0$$

Notar que hay un puntito sobre los vectores i, j, k de la izquierda de cada expresión que indica que esta derivado respecto al tiempo aunque]

$$\begin{aligned}<br /> \hat n_{y'}\cdot\hat n_{z'}&=-\hat n_{z'}\cdot\hat n_{y'} \ , \\<br /> \hat n_{z'}\cdot\hat n_{x'}&=-\hat n_{x'}\cdot\hat n_{z'}\ , \\<br /> i'\cdot\hat n_{y'}&=-\hat n_{y'}\cdot\hat n_{x'}<br /> \end{aligned}$$

De estas ecuaciones se puede concluir que:

$$\left.{\begin{array}{ccccc}<br /> \dot{\hat n}_{x'}&=&&+\gamma n_{y'}&-\beta n_{z'}\\<br /> \dot{\hat n}_{y'}&=&-\gamma n_{x'}&&+\alpha n_{z'}\\<br /> \dot{\hat n}_{z'}&=&+\beta n_{x'}&-\alpha n_{y'}&<br /> \end{array}\right\}$$

donde $\alpha, \beta,\gamma$ de penden de la naturaleza del movimiento del cuerpo.

Hay que tener en cuenta que para obtener las relaciones puestas en (3) se observa que por (1) $\hat n_{x'}$ no puede aparecer en la expresión de $\dot{\hat n}_{x'}$ y que por (2) el coeficiente de $\hat n_{y'}$ en $\dot{\hat n}_{x'}$ es el opuesto del coeficiente de $\hat n_{x'}$ en $\dot {\hat n}_{y'}$.

Ahora consideremos un punto cualquiera $\vec r'$ del cuerpo rígido, entonces se tendrá que:

$$\left( \alpha\hat n_{x'}+\beta\hat n_{y'}+\gamma\hat n_{z'})\times\vec r' = (\alpha+\hat n_{x'}+ \beta\hat n_{y'}+\gamma\hat n_{z'})\times(x'\hat n_{x'} +y'\hat n_{y'}+z'\hat n_{z'} \right)<br />$$

$$(\alpha\hat n_{x'}+\beta\hat n_{y'}+\gamma\hat n_{z'})\times\vec r' =&(\beta z' -\gamma y')\hat n_{x'}+ (\gamma x'-\alpha z')\hat n_{y'}+(\alpha y'-\beta x')\hat n_{z'}<br />$$

$$(\alpha\hat n_{x'}+\beta\hat n_{y'}+\gamma\hat n_{z'})\times\vec r' =x'(\gamma\hat n_{y'}-\beta\hat n_{z'})+y'(-\gamma\hat n_{x'}+\alpha\hat n_{z'})+z'(\betha\hat n_{x'}-\alpha\hat n_{y'})<br />$$

$$(\alpha\hat n_{x'}+\beta\hat n_{y'}+\gamma\hat n_{z'})\times\vec r' =x'\dot{\hat n}_{x'}+y'\dot{\hat n}_{y'}+z'\dot {\hat n}_{z'}<br />$$

$$(\alpha\hat n_{x'}+\beta\hat n_{y'}+\gamma\hat n_{z'})\times\vec r' = \dot{\vec r}'$$

Y como el punto que tomamos es arbitrario, puede considerarse el movimiento de todo el cuerpo rígido debido a una velocidad angular:

$$\omega = \alpha\hat n_{x'}+\beta \hat n_{y'}+ \gamma \hat n_{z'}$$

alrededor de un eje que pasa por el punto fijo $O$.