Ecuación de los rayos de luz en óptica geométrica

Consideremos una onda luminosa que cumple la aproximación de la óptica geométrica (véase Ecuación Eikonal) propagándose en un dieléctrico isótropo de índice n(r), entonces diremos que cierta curva representa un rayo de luz si la tangente a la curva en cada punto tiene la dirección de propagación de la energía en dicho punto.

Puede parecer extraño el aceptar una situación con un índice variable supuesta válida la aproximación de la óptica geométrica. No debemos equivocarnos en esto pues dicha aproximación solo dicta que la variación del índice ha de ser infinitesimal en un entorno del orden de la longitud de onda en del dieléctrico.

Teniendo en cuenta que la dirección de propagación de la onda plana predicha por la ecuación eikonal viende dada por el gradiente de la función eikonal y que, por definición, $||\vec\nabla L||=n(r)$, esto es

$$\vec s = \frac{\nabla L}{|| \nabla L ||} = \frac{\nabla L}{n} .$$

podemos escribir

$$\vec\nabla \times ( n \vec s ) = 0 .$$

Equivalentemente, teniendo en cuenta que si r(s) describe la ecuación de la trayectoria de los rayos parametrizada por la longitud de arco, entonces

$$n \frac{\dd \vec r}{\dd s} = n \vec s = \nabla L .$$

que constituye la llamada ecuacion de los rayos.

Puede demostrarse que ésta ecuación admite la representación

$$\frac{\dd}{\dd s} \left( n \frac{\dd \vec r}{\dd s} \right) = \nabla n .$$

de donde se deduce que para medios homogéneos (n constante) se tiene

$$\frac{\dd}{\dd s} \left( n \frac{\dd \vec r}{\dd s} \right) = 0 .$$

cuyas soluciones son$\vec r=\vec a s+\vec b$, es decir, trayectorias rectilíneas cuyos parámetros dependen de las condiciones iniciales prescritas para la ecuación de los rayos.

Para otros medios puede darse distintas trayectorias dando lugar a fenómenos interesantes como los espejismos, perfectamente explicables con la óptica geométrica y que surgen fruto de la variación del índice de refracción con la temperatura de forma que se pueda considerar estratificado. Este es el origen de, por ejemplo, los efectos que todos hemos podido apreciar en el pavimento de las carreteras en días especialmente calurosos. Parecen surgir charcos de agua sobre la carretera que desaparecen al acercarse. Realmente lo que se contempla es el cielo sobre la carretera debido a que los rayos que transportan la información han sido curvados convexamente de modo que parecen provenir de la carretera.

Lo contrario ocurre en el mar, donde las capas de aire más cercanas a la superficie están más frías fruto del efecto termoregulador del agua. Entonces la trayectoria otrora convexa se torna cóncava y objetos situados en la superficie parecen proceder del cielo. Esta es una de las posibles explicaciones científicas al fenómeno de los falsos ovnis.

Una aplicación importante de este tipo de comportamientos lo constituyen las llamadas láminas SelFoc, en cuyo interior los rayos adoptan trayectorias helicoidales empleadas para enfocar haces de luz sobre pequeñas regiones (de ahí su nombre: self-focusing=autoenfoque).