Ecuación Eikonal en medios dieléctricos isótropos.

Sea una onda luminosa monocromática (véase Ondas Monocromáticas y Cuasimonocromáticas) V(r,t) propagándose en un medio de índice n(r). Es posible entonces escribir

$$B(\vec r) = A(\vec r) \eee{- i g(\vec r)} .$$

donde B(r) cumple la ecuación de Helmholtz o ecuación de ondas independiente del tiempo

$$\nabla^2 B + k^2 B = 0 ,$$

con k=k0·n(r) igual al módulo del vector de ondas en el medio dieléctrico considerado.
Entonces si suponemos que en un entorno del punto genérico r0 del orden de la longitud de onda el índice de refracción no cambia apreciablemente, su amplitud se mantiene constante en distancias del mismo orden, y su fase puede aproximarse por los dos primeros términos del desarrollo de Taylor en un entorno de cada punto; entonces

$$B(\vec r) = A(\vec r_0) \eee{-i g(\vec r_0)} \eee{-i (\vec r - \vec r_0) \cdot \nabla g(\vec r_0)} .$$

Como B(r) cumple la ecuación de Hemholtz se obtiene

$$\Big[ \vec\nabla g(\vec r_0) \Big]^2 = k_0^2 n^2(\vec r_0) ,$$

o también

$$\Big[ \vec\nabla L(\vec r_0) \Big]^2 = n^2(\vec r_0) ,$$

que es la llamada ecuación eikonal, donde $L(r)=g/k0$ es la llamada función eikonal.

En síntesis, hemos concluido que una onda monocromática que, en un entorno de un punto genérico r0 del tamaño de su longitud de onda, verifica las condiciones expuestas anteriormente, es susceptible de ser escrita localmente como una onda plana en la que el vector $\vec\nabla L$ representa la dirección de propagación tanto del frente de onda como de la energía.

Las condiciones que se han prescrito anteriormente con el fin de escribir la perturbación como una onda plana constituyen lo que usualmente se denomina aproximación de la óptica geométrica, ya que constituyen la frontera entre lo que podría significar un tratamiento propio de la óptica física, y el régimen de aplicación de la óptica geométrica de los rayos.
Naturalmente se excluyen de este tratamiento geométrico aquellos fenómenos que solo tienen explicación dentro del marco formal de la teoría ondulatoria de la luz, e.g efectos interferenciales (que modifican la fase en entornos de r0 de tal forma que no es posible escribirla usando los primeros términos de su desarrollo polinómico) y efectos difraccionales (que, en resumidas cuentas son equivalentes a los fenómenos interferenciales).